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2019年高考數(shù)學一輪復習 8-1合情推理與演繹推理檢測試題（2）文 一、選擇題 1．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①和② 解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結論．故選B. 答案：B 2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 解析：因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確. 答案：C 3．在平面幾何中有如下結論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝，推廣到空間可以得到類似結論；已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故＝. 答案：D 4．觀察如圖所示的正方形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n≥2，n∈N*)個圓點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.按此規(guī)律推斷出Sn與n的關系式為(　　) A．Sn＝2n B．Sn＝4n C．Sn＝2n D．Sn＝4n－4 解析：由n＝2，n＝3，n＝4的圖案，推斷第n個圖案是這樣構成的：各個圓點排成正方形的四條邊，每條邊上有n個圓點，則圓點的個數(shù)為Sn＝4n－4. 答案：D 5．下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是(　　) A．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2 B．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對? x∈R都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數(shù) C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓＋＝1(a＞b＞0)的面積S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推斷：對一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：選項A由一些特殊事例得出一般性結論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和等于Sn＝＝n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結論不正確．因此選A. 答案：A 6．觀察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則第n個式子是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析：方法一：由已知得第n個式子左邊為2n－1項的和且首項為n，以后是各項依次加1，設最后一項為m，則m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2. 方法二：特值驗證法．n＝2時，2n－1＝3,3n－1＝5， 都不是4，故只有3n－2＝4，故選C. 答案：C 7．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：①②正確；③④⑤⑥錯誤． 答案：B 8．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)等于(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 解析：由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 答案：D 9．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝a(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則t－a＝(　　) A．31 B．41 C．55 D．71 解析：觀察所給的等式，等號左邊是 ， ，，…，等號的右邊是2，3，…，則第n個式子的左邊是 ，右邊是(n＋1)·，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，選B. 答案：B 10．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：記an＋bn＝f(n)，則 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 即a10＋b10＝123. 答案：C 二、填空題 11．設n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，觀察上述結果，可推測一般的結論為__________． 解析：由前四個式子可得，第n個不等式的左邊應當為f(2n)，右邊應當為，即可得一般的結論為f(2n)≥. 答案：f(2n)≥ 12．觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 照此規(guī)律，第n個等式為__________． 解析：每行最左側數(shù)分別為1、2、3、…，所以第n行最左側的數(shù)為n；每行數(shù)的個數(shù)分別為1、3、5、…，則第n行的個數(shù)為2n－1.所以第n行數(shù)依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 13．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結論是__________． 解析：將側面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. 答案：S＋S＋S＝S 14．對于命題：若O是線段AB上一點，則有||·＋||·＝0.將它類比到平面的情形是： 若O是△ABC內(nèi)一點，則有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，將它類比到空間情形應該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有__________． 解析：將平面中的相關結論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知若O為四面體ABCD內(nèi)一點，則有VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0. 答案：VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0 三、解答題 15．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； ②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； ③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． 解析：方法一： (1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－ sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－ sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 方法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 答案：(1)；(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝，證明略． 16．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖①②③④所示為她們刺繡的最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數(shù)越多，刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形． ① 　　?、凇　　　　　、邸　　　　　　、? (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式； (3)求＋＋＋…＋的值． 解析：(1)f(5)＝41. (2)f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， … 由上式規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n＋1)＝f(n)＋4n， f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)當n≥2時，＝＝， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋ ＝1＋＝－. 答案：(1)f(5)＝41；(2)f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝2n2－2n＋1；(3)－. 創(chuàng)新試題　教師備選 教學積累　資源共享 教師用書獨具 1．某同學在電腦上打上了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應是(　　) A．白色　　　　　　　　 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：由題干圖知，圖形是三白二黑的圓周而復始相繼排列，是一個周期為5的三白二黑的圓列，因為36÷5＝7余1，所以第36個圓應與第1個圓顏色相同，即白色． 答案：A 2．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 解析：5n(n≥5且n∈Z)的后兩位數(shù)字一定為25，區(qū)別在于通過對其后三四位數(shù)的觀察，55、56、57的后三四位數(shù)31、56、81為等差數(shù)列，公差為25，由此推{5n}的后兩位前的數(shù)是以25為公差的等差數(shù)列．由公式d＝得＝25(其中a為52011的后兩位前的數(shù))，∴a＝50181.故選D. 答案：D 3．[xx·廣西月考]下列推理是歸納推理的是(　　) A．由于f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對?x∈R都成立，推斷f(x)＝xcosx為奇函數(shù) B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出數(shù)列{an}的前n項和的表達式 C．由圓x2＋y2＝1的面積S＝πr2，推斷：橢圓＋＝1的面積S＝πab D．由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì) 解析：由特殊到一般的推理過程，符合歸納推理的定義；由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程，符合類比推理的定義；由一般到特殊的推理符合演繹推理的定義．A是演繹推理，C、D為類比推理，只有B，從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 答案：B 4．[xx·銀川質(zhì)檢]當x∈(0，＋∞)時可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，由此可以推廣為x＋≥n＋1，取值p等于(　　) A．nn B．n2 C．n D．n＋1 解析：∵x∈(0，＋∞)時可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，∴在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的指數(shù)次方，即p＝nn. 答案：A 5．[xx·寶雞檢測]考察下列一組不等式： 將上述不等式在左、右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為__________． 解析：依題意得，推廣的不等式為am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a>0，b>0，a≠b，m>0，n>0)． 答案：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a>0，b>0，a≠b，m>0，n>0) 6．[xx·淮北模擬]在計算“＋＋…＋ (n∈N*)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：＝－， 由此得＝－，＝－，…，＝－， 相加，得＋＋…＋＝1－＝. 類比上述方法，請你計算“＋＋…＋(n∈N*)”，其結果為__________． 解析：先改寫第n項，＝×＝×＝×， 所以＋＋…＋ ＝ ＝＝. 答案： 7．[xx·張家界模擬]觀察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝； ②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝. 由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． 解析：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝. 證明：左邊＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]＝sin2α＋＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右邊． 所以，猜想是正確的． 8．[xx·廣東中山模擬]設f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明． 解析：f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝， f(－2)＋f(3)＝，并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1. 歸納猜想得：當x1＋x2＝1時，均有f(x1)＋f(x2)＝. 證明：設x1＋x2＝1， f(x1)＋f(x2)＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝.