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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 5.5線段的定比分點（第一課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.線段的定比分點坐標(biāo)公式； 2.線段的中點坐標(biāo)公式. (二)能力目標(biāo) 1.掌握線段的定比分點坐標(biāo)公式及線段的中點坐標(biāo)公式； 2.熟練運用線段的定比分點坐標(biāo)公式及中點坐標(biāo)公式； 3.理解點P分有向線段所成比的含義； 4.明確點P的位置及范圍的關(guān)系. ●教學(xué)重點 線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用. ●教學(xué)難點 用線段的定比分點坐標(biāo)公式解題時區(qū)分＞0還是＜0. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 ●教具準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片 第一張：例1(記作§5.5.1 A) 第二張：例2(記作§5.5.1 B) ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題引入 ［師］上一節(jié)，我們一起研究了平面向量的坐標(biāo)表示問題，這一節(jié)，我們一起來研究線段的定比分點問題，并將學(xué)習(xí)定比分點坐標(biāo)公式的具體應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 1.定比分點坐標(biāo)公式： 若點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，為實數(shù)，且＝，則點P的坐標(biāo)為(，)，我們稱為點P分所成的比. 說明：(1)定比分點坐標(biāo)公式的推導(dǎo)應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)； (2)點P分所成的比與點P分所成的比是兩個不同的比，要注意方向. 2.點P的位置與的范圍的關(guān)系： ①當(dāng)＞0時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點. 特別地，當(dāng)＝1時，有＝，即點P是線段P1P2之中點，其坐標(biāo)為(，). ②當(dāng)＜0時，與反向共線，這時稱點P為的外分點. 3.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式： 在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)＝a，＝b，由于＝－＝－a，＝－＝b－ 且有＝，所以－a= (b－).即可得==a＋b. 這一結(jié)論在幾何問題的證明過程中應(yīng)注意應(yīng)用. ［例1］已知點P為有向線段AB的外分點，則點P分有向線段AB的比的范圍是________. A.＜0 B.－1＜＜0 C.＜－1 D.－1＜＜0，或＜－1 ［師］大家在考慮問題時注意線段定比分點的定義. ［生甲］因為點P為有向線段AB的外分點，根據(jù)內(nèi)分＞0，外分＜0可知應(yīng)選A. ［生乙］應(yīng)根據(jù)點P與A、B的相對位置進(jìn)行討論. 解：由線段定比分點定義可知=－，點P位置可分兩種情況. (ⅰ)當(dāng)點P在點A的左側(cè)時， ∵0＜|PA|＜|PB|， ∴0＜＜1. ∴0＞－＞－1，即－1＜＜0. (ⅱ)當(dāng)點P在點B的右側(cè)時， ∵|PA|＞|PB|＞0 ∴＞1 ∴－＜－1，即＜－1 ∴＜－1或－1＜＜0，故選D. ［例2］已知A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)為三角形的三個頂點，L、M、N分別是BC、CA、AB上的點，滿足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求L、M、N三點的坐標(biāo). 分析：所給線段長度的比，實為相應(yīng)向量模的比，故可轉(zhuǎn)換所給比值為點L、M、N分向量、、所成的比，由定比分點坐標(biāo)公式求三個點的坐標(biāo). 另外，要求L、M、N的坐標(biāo)，即求、、的坐標(biāo)(這里O為坐標(biāo)原點)，為此，我們可借用定比分點的向量形式. 解：∵A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)， ∴＝(1，3)，＝(－2，0)，＝(2，1) 又∵BＬ∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3 ∴可得：L分，M分，N分所成的比均為＝2 ∴＝＋ ＝ =+ = ＝＋＝ ∴Ｌ(－)、M()、N(0，2)為所求. ［例3］已知三點A(0，8)，B(－4，0)，C(5，－3)，D點內(nèi)分的比為1∶3，E點在BC邊上，且使△BDE的面積是△ABC面積的一半，求DE中點的坐標(biāo). 分析：要求DE中點的坐標(biāo)，只要求得點D、E的坐標(biāo)即可，又由于點E在BC上， △BDE與△ABC有公共頂點B，所以它們的面積表達(dá)式選定一公用角可建立比例關(guān)系求解. 解：由已知有＝，則得 又，而S△BDE＝｜｜｜｜·sinDBE， S△ABC＝｜｜｜｜sinABC，且∠DBE＝∠ABC ∴，即得 又點E在邊BC上，所以＝2， ∴點E分所成的比＝2 由定比分點坐標(biāo)公式有 即E(2，－2)，又由 有D(－1，6). 記線段DE的中點為M(x，y)，則 即M(，2)為所求. ［師］為鞏固本節(jié)所學(xué)，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí). Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P115練習(xí)1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié) ［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握線段的定比分點坐標(biāo)公式及中點坐標(biāo)公式，并能熟練運用線段的定比分點坐標(biāo)公式及中點坐標(biāo)公式解決相關(guān)問題. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P115習(xí)題5.5 1，2，3，4，5 (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P116～P117 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)兩向量的夾角有何前提? (2)平面向量積的定義及幾何意義. (3)平面向量數(shù)量積的運算律有哪些? ●板書設(shè)計 §5.5.1 線段的定比分點 1.定比分點坐標(biāo)公式 2.點P位置與范圍關(guān)系 ＜0，外分點 ＞0，內(nèi)分點 3.中點坐標(biāo)公式