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2019-2020年高一數(shù)學上冊 充分條件、必要條件二教學案 滬教版 教學目標：（1）正確理解充要條件的概念，能在簡單的情景中判斷結論成立的充分性與必要性，基本掌握判斷充要條件的方法； 　　 （2）通過充要條件的學習與理解，體會命題等價轉化的思想方法； （3）進一步培養(yǎng)簡單邏輯推理的思維能力，逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。 教學重點：正確理解充要條件的意義以及充要條件判斷的方法。 教學難點：正確區(qū)分充要條件以及兩個命題等價關系的判斷。 教學過程： 1、 情景引入 1．什么是充分條件？什么是必要條件？ （通過概念的復習，為新知學習作必要的認知準備） 2．指出下列各組命題中，“”及“”是否成立。 （1）： ：（ （2）：實數(shù) ：方程有兩個不相等的實根 （3）：三角形三邊相等 ：三角形三個角相等 （（1），；（2）， ；（3）“”且“”） 說明：通過問題學習，一方面復習充分條件與必要條件的有關概念，同時引出在命題關系中，有一類關系既是充分的又是必要的，就是本節(jié)課一起研究的充分必要條件。 充要條件定義： 一般地，如果既有，又有，即有； 這時，既是的充分條件，又是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。 說明：判斷是的什么條件時，不僅要考察是否成立，即“若則”形式命題是否正確，還得考察是否成立，即“若則”形式命題是否正確。 【題目】： 指出下列各命題中，是的什么條件： （1）： ： （2）： ： （3）： ： （4）： ： （5）： ： 【解答】：（1）必要非充分條件；（2）充分非必要條件；（3）必要非充分條件； （4）充分非必要條件；（5）充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：請舉例說明：（1）是的充分而不必要條件； （2）是的必要而不充分條件； （3）是的既不充分也不必要條件； （4）是的充要條件。 【解答】：（1）： ，：；（2）：，：； （3）： ，：； （4）：，：； （答案不唯一） 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：從 “充分不必要條件” “必要不充分條件”“充要條件” “既不充分也不必要條件”中選出適當?shù)囊粋€填空： （1）“”是“”的 （2）“”是“”的 （3）“”是“”的 （4）“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 【解答】：（1）充分不必要條件；（2）必要不充分條件； （3）必要不充分條件；（4）必要不充分條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，辨析題，中，邏輯思維能力 【題目】：判斷下列命題的真假： （1）“”是“”的充分條件 （2）“”是“”的必要條件 （3）“”是“”的充要條件 （4）“”是“”的充分條件 【解答】：（1）假命題；（2）假命題；（3）真命題；（4）假命題。 說明：（1）通過以上四例的學習，幫助學生掌握正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件的方法。 （2）舉反例是說明或的重要方法。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，邏輯思維能力 【題目】：已知實系數(shù)一元二次方程?！啊? 是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的什么條件？為什么？ 【解答】：我們把方程變形為。 所以“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根” 的充分條件； 反過來， 如果方程有兩個相等的實數(shù)根 ，那么由方程根與系數(shù)的關系得于是 ，即。 所以，“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的必要條件； 綜上所述，“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的充要 條件。 說明：通過例題學習，讓學生初步學會充要條件的證明方法。 2、 課堂反饋 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，辨析題，中，邏輯思維能力 【題目】：下列各題中，甲是乙的什么條件？說明理由。 (1)甲：， 乙： (2)甲：， 乙： (3)甲：，， 乙：是方程的兩根 (4)甲：兩邊和夾角對應相等 乙：三角形全等 【解答】：（1）必要非充分條件；（2）充分非必要條件； （3）充要條件； （4）充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：設A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B 的充分條件．試問： (1)D是C的什么條件？ (2)A是B的什么條件？ 【解答】：（1）充要條件；（2）充分條件 3、 課堂小結 （1）充要條件：若且，則稱是的充要條件。 （2） 判斷是的什么條件，不僅要考察是否成立，還要考察 是否成立。 （3）若 且，則是的充分而不必要條件。 若 且，則是的必要而不充分條件。 若 且，則是的充要條件。 若 且，則是的既不充分也不必要條件。 4、 作業(yè)布置 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“方程有唯一解”的__________條件。 【解答】：充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：一次函數(shù)的圖象只過二、三、四象限的充要條件是_________ 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，中，邏輯思維能力 【題目】：關于的實系數(shù)一元二次方程有一個正根和一個零根的充 要條件是_________________。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：命題“且”是命題“”的什么條件？ 【解答】：充要條件 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：設，，求：的充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：求“集合中至多只有一個元素”的一個 充要條件。 【解答】：或 【情景資源】 情景1：　 問題： 已知：整數(shù)是2的倍數(shù)；：整數(shù)是偶數(shù)。 　　 請判斷： 是的充分條件嗎？是的必要條件嗎？ 　　分析：要判斷是否是的充分條件，就要看能否推出，要判斷是 否是的必要條件，就要看能否推出。問題中，故是的充分條件，又，故是的必要條件。 　　 此時，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。 　 情景2： 1．問題1：一個命題條件的充分性和必要性可分為四類，有哪四類？ （充分不必要條件；必要不充分條件；既充分又必要條件；既不充分也不必要條件） 本節(jié)課將繼續(xù)研究命題中既充分又必要的條件。 2．問題2：請判定下列命題的條件是結論成立的什么條件？ （1）若是無理數(shù)，則是無理數(shù)； (2) 若一元二次方程有兩個不等的實根，則判別式。 分析：命題（1）中因：是無理數(shù)T是無理數(shù)，所以“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充分條件；又因：是無理數(shù)T是無理數(shù)，所以“是無理數(shù)”又是“ 是無理數(shù)”的必要條件。因此“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”既充分又必要的條件。命題（2）一元二次方程有兩個不等的實根既是的充分條件，又是必要條件。 【題目資源】 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“四邊形是菱形”是“四邊形對角線互相垂直”的 條件。 【解答】：充分非必要 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“函數(shù)的圖象過原點”的 條件。 【解答】：充要 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的 條件。 【解答】：必要非充分 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，易，邏輯思維能力 【題目】：拋物線與軸沒有交點的充要條件是 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“一元二次方程有實數(shù)解”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：A 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：二次函數(shù)的值恒為正值的充要條件是（ ） A． B． C．， D．， 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，易，邏輯思維能力 【題目】：“”是“”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：C 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，填空題，中，邏輯思維能力 【題目】：設，則成立的充要條件是 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：“”是“且”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：B 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：已知：，：，則是的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 【解答】：D 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，選擇題，中，邏輯思維能力 【題目】：下面說法正確的有（ ）個 （1）“中至少有一個小于零”是“”的必要非充分條件。 （2）“”是“且”的充要條件。 （3）“”是“或”的充分非必要條件。 . . . . 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：求：“方程有負數(shù)根”的一個充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，中，邏輯思維能力 【題目】：寫出函數(shù)與交于兩點的橫坐標均為負值 的充要條件。 【解答】： 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問題、解決問題能力 【題目】：求：當時，不等式恒成立的充要條件。 【解答】：解:令 則 所以即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問題、解決問題能力 【題目】：求：關于的實系數(shù)二次方程有兩個不相等的正實根 的充要條件。 【解答】：解：設是方程兩個不相等的正根 則 所以即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，邏輯思維能力 【題目】：求證：關于的實系數(shù)二次方程有一個根是1的 充要條件是。 【解答】：證明：（必要性） 若關于的實系數(shù)二次方程有一個根是1。 則將1代入方程知：。 故必要性成立。 （充分性） 若 則，代入即求得 所以命題成立。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問題、解決問題能力 【題目】：求:關于的方程至少有一個實根的充要條件。 【解答】：解：1.當時, , 方程有一個實根。 2.當時, 方程至少有一個實根 且 綜上所述:即為所求。 【屬性】：高一（上），集合與命題，充要條件，解答題，難，分析問題、解決問題能力 【題目】：（xx遼寧）已知，則滿足關于的方程的充要條件是（ ） . 存在,使成立； . 存在,使成立； . 對任意,成立； . 對任意,成立. 【解答】：解：由于，令函數(shù)， 此時函數(shù)圖象的開口向上,當時,函數(shù)取得最小值。 而滿足關于的方程，那么， 所以。 因此對任意,都有。 即對任意,都有。 故選。