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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.1平面向量的基本概念及線性運(yùn)算課后自測 理 A組　基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 【解析】　由＋＝2知，點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)， 則＋＝0. 【答案】　B 2．(xx·佛山調(diào)研)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件是(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 【解析】　若e1與e2共線，則e2＝λ′e1， ∴a＝(1＋λλ′)e1，此時a∥b，若e1與e2不共線，設(shè)a＝μb，則e1＋λe2＝μ·2e1，∴λ＝0,1－2μ＝0. 【答案】　D 3．下列命題中是真命題的是(　　) ①對任意兩向量a、b，均有：|a|－|b|＜|a|＋|b|； ②對任意兩向量a、b，a－b與b－a是相反向量； ③在△ABC中，＋－＝0； ④在四邊形ABCD中，(＋)－(＋)＝0. A．①②③ B．②④ C．②③④ D．②③ 【解析】?、偌倜}．∵當(dāng)b＝0時，|a|－|b|＝|a|＋|b|. ∴該命題不成立． ②真命題，這是因?yàn)?a－b)＋(b－a)＝0， ∴a－b與b－a是相反向量． ③真命題．∵＋－＝－＝0. ④假命題．∵＋＝，＋＝， ∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0， ∴該命題不成立． 【答案】　D 圖4－1－2 4．如圖4－1－2所示，向量＝a，＝b，＝c，A、B、C在一條直線上，若＝－3，則(　　) A．c＝－a＋b B． c＝a－b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 【解析】　∵＝＋＝＋3＝＋3(－)＝3＋－3， ∴2＝－＋3， ∴c＝＝－a＋b. 【答案】　A 5．(xx·浙江高考)設(shè)a，b是兩個非零向量(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 【解析】　由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2， ∴a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2， ∴a·b＝－|a||b|. ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1， 因此A不正確，C正確(如λ＝－1)， 若a⊥b，則|a＋b|＝|a－b|≠|(zhì)a|－|b|，B不正確． 對于D，當(dāng)λ＝1時，顯然不成立． 【答案】　C 二、填空題 6．設(shè)a，b是兩個不共線向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為________． 【解析】　∵＝＋＝2a－b， 又A，B，D三點(diǎn)共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ. 即∴p＝－1. 【答案】?。? 7．(xx·揭陽模擬)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于________． 【解析】　由＋＋＝0，知點(diǎn)O為△ABC重心， 又O為△ABC外接圓的圓心， ∴△ABC為等邊三角形，A＝60°. 【答案】　60° 8．(xx·揚(yáng)州質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 【解析】　如圖所示，以AB、AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDC，且AD、BC相交于一點(diǎn)M. ∵＋＝，－＝，且|＋|＝|－|， ∴||＝||，則四邊形ABDC是矩形． 由＝16，得||＝4， ∴||＝||＝||＝2. 【答案】　2 三、解答題 9．已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值． 【解】　如圖所示，由＝λ，且＋＋＝0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)． 因此＝－2，則λ＝－2. 10．設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A、B、C三點(diǎn)共線． (2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值． 【解】　(1)證明?。剑絘＋2b， ＝－＝－a－2b. 所以＝－， 又因?yàn)锳為公共點(diǎn)， 所以A、B、C三點(diǎn)共線． (2)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因?yàn)锳、C、D三點(diǎn)共線，所以與共線． 從而存在實(shí)數(shù)λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 得解得λ＝，k＝， 所以k＝. B組　能力提升 1．(xx·青島調(diào)研)已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m，使得＋＝m成立，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　如圖所示，由＋＋＝0知，點(diǎn)M為△ABC的重心， 設(shè)點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，則由向量加法可知：＋＝＝2. 由重心性質(zhì)，＝，則＝， 所以＋＝2＝3，因此m＝3. 【答案】　B 2．(xx·常州質(zhì)檢)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為________． 【解析】　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2. 如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且＝，則△ABM與△ABC的面積比為. 【答案】　 3．設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)．求點(diǎn)P的軌跡，并判斷點(diǎn)P的軌跡通過下述哪一個定點(diǎn)： ①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心； ④△ABC的垂心． 【解】　如圖，記＝，＝，則，都是單位向量， ∴||＝||，＝＋，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC. ∵＝＋，由條件知＝＋λ， ∴＝λ(λ∈[0，＋∞))， ∴點(diǎn)P的軌跡是射線AQ，且AQ通過△ABC的內(nèi)心．