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2.3 特殊三角形,命題解讀,考綱解讀,了解等腰三角形和直角三角形的有關概念,掌握等腰三角形和直角三角形的性質和判定,理解等邊三角形的性質和判定,掌握勾股定理及其逆定理.掌握角平分線性質定理及其逆定理,并會利用它解決問題,掌握線段的垂直平分線性質定理及其逆定理,并會利用它解決問題,掌握三角形中位線的性質,并能利用它解決幾何問題.,命題解讀,考綱解讀,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1 等腰三角形的性質與判定 1.等腰三角形的性質 (1)等腰三角形的兩個底角 相等 ,簡稱“等邊對等角”; (2)等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線 重合 ,簡稱“等腰三角形三線合一”; (3)等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線所在的直線就是它的對稱軸. 2.等腰三角形的判定 (1)按定義:有兩條邊相等的三角形就是等腰三角形; (2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形,簡稱“等角對等邊”.,等腰三角形“三線合一”是證明兩直線互相垂直的重要方法,也是處理等腰三角形問題中的常用輔助線作法.,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,3.等邊三角形 (1)等邊三角形的性質 ①等邊三角形的三條邊都相等; ②等邊三角形的三個角都是 60° . (2)等邊三角形的判定 ①按定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形; ②三個角 都相等 的三角形是等邊三角形; ③有兩個角是 60° 的三角形是等邊三角形; ④有一個角是 60° 的等腰三角形是等邊三角形.,等邊三角形的四種判定方法都可以應用,要根據不同的條件進行選擇,以使問題簡單化.,,,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例1 (2016·廣西賀州)一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為 ( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20 【解析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰,則應該分兩種情況進行分析.①當4為腰時,4+4=8,故此種情況不存在;②當8為腰時,8-488+4,符合題意.故此三角形的周長為8+8+4=20. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·貴州安順)已知實數x,y滿足|x-4|+ =0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 ( B ) A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不對 【解析】根據非負數的意義列出關于x,y的方程并求出x,y的值,再根據x是腰長和底邊長兩 種情況討論求解.根據題意得 (1)若4是腰長,則三角形的三邊長為4,4,8,不能組成三角形;(2)若4是底邊長,則三角形的三邊長為4,8,8,能組成三角形,周長為4+8+8=20.,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點2 直角三角形的性質與判定 1.直角三角形的性質 (1)直角三角形的兩個銳角 互余 ; (2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的 一半 ; (3)直角三角形中,30°的角所對的直角邊等于斜邊的 一半 ;等于斜邊的一半的直角邊所對的角是 30° ; (4)勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.,已知直角三角形中的兩邊求第三邊(沒有明確誰是斜邊)時,一般要分類討論:①所求邊是斜邊;②已知兩邊中的較長邊是斜邊.,,,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,2.直角三角形的判定 (1)有兩個角的和等于 90° 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:如果一個三角形的一邊的平方等于另兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角). 補充:一條邊上的中線等于這邊的 一半 的三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角). 3.直角三角形面積的求法,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例2 (2016·福建泉州)如圖,在Rt△ABC中,E是斜邊AB的中點,若AB=10,則CE= . 【解析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得答案.由直角三角形的性質,得CE= AB=5. 【答案】 5,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·湖北鄂州)如圖,AB=6,O是AB的中點,直線l經過點O,∠1=120°,P是直 線l上一點,當△APB為直角三角形時,,【解析】當∠APB=90°時,分兩種情況討論,情況一:如圖1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴△AOP為等邊三角形,∴∠OAP=60°,∴∠PBA=30°,∴AP=,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點3 角的平分線的性質與判定 1.定義 從角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩相等的角,這條射線叫做這個角的平分線. 2.性質 角的平分線上的點到角的兩邊的距離 相等 . 3.判定 到角的兩邊距離 相等的點 在這個角的平分線上.,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例3 (2016·湖南懷化)如圖,OP為∠AOB的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結論錯誤的是 ( ) A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 【解析】∵OP為∠AOB的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,∴PC=PD,故A正 確;在Rt△OCP與Rt△ODP中, ∴△OCP≌△ODP(HL), ∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故C,D正確.不能得出∠CPO=∠DOP,故B錯誤. 【答案】 B,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點A為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心,大于 MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是 ( B ) A.15 B.30 C.45 D.60,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點4 線段的垂直平分線 1.定義 過線段的中點且與這條線段垂直的直線,叫做線段的垂直平分線. 2.性質 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離 相等 . 3.判定 到一條線段的兩端的距離 相等的點 ,在這條線段的垂直平分線上.,解題時常要把垂直平分線上的點與線段兩端點連接,利用垂直平分線的性質解題.,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例4 (2016·山東德州)如圖,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分別以點A和點C為圓心,大于 AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點D,連接AD,則∠BAD的度數為 ( ) A.65° B.60° C.55° D.45° 【解析】由題意可得MN是AC的垂直平分線,則AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=65°. 【答案】 A,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·廣州)如圖,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點D,連接CD,則CD= ( D ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 【解析】∵AB=10,AC=8,BC=6,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∵DE是AC的垂直平分線,∴AE=EC=4,DE∥BC,∴AD=BD,∴CD是Rt△ABC斜邊上的中線,∴CD= AB=5.,,備課資料,考點掃描,1.直角三角形與等腰三角形的綜合 典例1 如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D是AC的中點,作∠ADB的角平分線DE交AB于點E. (1)求證:DE∥BC; (2)若AE=3,AD=5,點P為BC上的一動點,當BP為何值時,△DEP為等腰三角形.請直接寫出所有BP的值.,備課資料,考點掃描,【解析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD= AC,再根據等腰三角形三線合一的性質可得DE⊥AB,再根據垂直于同一直線的兩直線平行即可證明;(2)利用勾股定理列式求出DE的長,根據等腰三角形三線合一的性質求出BE=AE,然后分DE=EP,DP=EP,DE=DP三種情況討論求解. 【答案】 (1)∵∠ABC=90°,點D是AC的中點,∴BD=AD= AC, ∵DE是∠ADB的角平分線,∴DE⊥AB, 又∵∠ABC=90°, ∴DE∥BC.,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,2.等腰三角形與角平分線的綜合 典例2 如圖,∠B,∠C的平分線相交于點F,過點F作DE∥BC,交AB于點D,交AC于點E,那么下列結論正確的是 ( ) ①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE; ③△ADE的周長為AB+AC;④BD=CE. A.③④ B.①② C.①②③ D.②③④ 【解析】∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB,∵BF是∠ABC的平分線,CF是∠ACB的平分線,∴∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB,∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF,∴△DFB,△FEC都是等腰三角形.∴DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,∴△ADE的周長為AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,3.等邊三角形與全等三角形的綜合 典例3 在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且AE=BD. (1)當點E為AB的中點時,如圖1,求證:EC=ED; (2)當點E不是AB的中點時,如圖2,過點E作EF∥BC,求證:△AEF是等邊三角形; (3)在第(2)小題的條件下,EC與ED還相等嗎,請說明理由.,備課資料,考點掃描,【解析】(1)根據等邊三角形三線合一的性質可得∠ECB=30°,∠ABC=60°,根據AE=EB=BD,可得∠EDB=∠DEB= ∠ABC=30°,根據等角對等邊即可證得結論;(2)根據平行線的性質證得∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即可證得結論;(3)先求得BE=FC,然后證得△DBE≌△EFC即可. 【答案】 (1)在等邊△ABC中,AB=BC=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, ∴∠EDB=∠ECB,∴EC=ED. (2)∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°, ∴△AEF為等邊三角形.,備課資料,考點掃描,(3)EC=ED.理由如下: ∵∠AFE=∠ABC=60°, ∴∠EFC=∠DBE=120°, ∵AB=AC,AE=AF, ∴AB-AE=AC-AF,即BE=FC, ∴△DBE≌△EFC(SAS),∴ED=EC.,命題點,命題點 特殊三角形的性質及判定(高頻) 1.(2016·安徽第10題)如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為 ( B ),【解析】本題考查點與圓的位置關系、圓周角定理、最短問題等知識.∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴點P在以AB為直徑的☉O上,連接OC交☉O于點P,此時CP最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC= =5,∴CP=OC-OP=5-3=2,∴CP最小值為2.,,命題點,2.(2014·安徽第8題)如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使A點與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為 ( C ) 【解析】本題考查實踐操作中的三角形折疊問題,對稱性的性質以及勾股定理.設BN=x,則AN=DN=9-x,∵點D是CB的中點,則BD=3,∴在Rt△NBD中,DN2=BD2+BN2,∴(9-x)2=x2+9,解得x=4,即BN=4.,,命題點,3.(2012·安徽第22題)如圖1,在△ABC中,D,E,F分別為三邊的中點,G點在邊AB上,△BDG與四邊形ACDG的周長相等.設BC=a,AC=b,AB=c. (1)求線段BG的長; (2)求證:DG平分∠EDF; (3)連接CG,如圖2,若△BDG與△DFG相似,求證:BG⊥CG.,命題點,命題點,∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD. 又∵DE∥AB,∴∠EDG=∠FGD,∴∠FDG=∠EDG, ∴DG平分∠EDF. (3)在△DFG中,∠FDG=∠FGD,∴△DFG是等腰三角形. ∵△BDG與△DFG相似, ∴△BDG是等腰三角形. ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,∴CD=BD=DG, ∴B,C,G三點在以D為圓心的圓上,且BC為直徑, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.,