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第17課時 二次函數(shù)的圖象和性質,1．[2015·蘭州]下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是( ) 2．在下列二次函數(shù)中，其圖象對稱軸為x＝－2的是 ( ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2,[小題熱身],C,A,3．對于二次函數(shù)y＝2(x＋1)(x－3)，下列說法正確的是( ) A．圖象的開口向下 B．當x＞1時，y隨x的增大而減小 C．當x＜1時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸是直線x＝－1 4．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2－4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式為( ) A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2,C,B,A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2,B,一、必知5 知識點 1．二次函數(shù)的概念 定義：一般地，形如________________(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)．,[考點管理],【智慧錦囊】 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的結構特征是：①等號左邊是函 數(shù)，右邊是關于自變量x的二次整式，x的最高次數(shù)是2； ②二次項系數(shù)a≠0.,y＝ax2＋bx＋c,用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的步驟： (1)用配方法化成______________________的形式； (2)確定圖象的開口方向，對稱軸及頂點坐標； (3)在對稱軸兩側利用對稱性描點畫圖．,y＝a(x－m)2＋k(a≠0),【智慧錦囊】 (1)|a|的大小決定拋物線的開口大小．|a|越大，拋物線的開口越 小，|a|越小，拋物線的開口越大； (2)畫拋物線y＝ax2＋bx＋c的草圖，要確定五點：①開口方 向；②對稱軸；③頂點；④與y軸交點；⑤與x軸交點．,3．二次函數(shù)的性質,4．二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有著密切的關系，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標對應一元二次方程的實數(shù)根，拋物線與x軸的交點情況可由對應的一元二次方程的根的判別式b2－4ac的符號判定． (1)有兩個交點__________?_________________________． (2)有一個交點__________?________________________． (3)沒有交點____________?____________________．,b2－4ac0,方程有兩個不相等實數(shù)根,b2－4ac＝0,方程有兩個相等實數(shù)根,b2－4ac0,方程沒有實數(shù)根,5．二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成______________________的形式，而任意拋物線______________________均可由y＝ax2平移得到，具體平移方法如下：,y＝a(x－m)2＋k(a≠0),y＝a(x－m)2＋k(a≠0),二、必會2 方法 1．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件，根據(jù)不同條件選擇不同的設法． (1)設一般式____________________： 若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c，將已知條件代入，求出a，b，c的值． (2)設頂點式__________________： 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或對稱軸或最大值(最小值)，設所求二次函數(shù)為__________________，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．,y＝ax2＋bx＋c(a≠0),y＝a(x－m)2＋k,y＝a(x－m)2＋k,(3)設兩根式________________________： 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設所求二次函數(shù)為y＝a(x－x1)(x－x2)，將第三點(m，n)的坐標(其中m，n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般形式． 2．數(shù)形結合思想 二次函數(shù)的圖象與性質是數(shù)形結合最好的體現(xiàn)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象特征與a，b，c及判別式b2－4ac的符號之間的關系如下：,y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),特殊值：當x＝1，y＝a＋b＋c；當x＝－1時，y＝a－b＋c.若a＋b＋c0，即x＝1時，y0.若a－b＋c0，即x＝－1時，y0.,三、必明3 易錯點 1．注意二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋k的圖形平移，一般按照“橫坐標加減左右移”、“縱坐標加減上下移”即“左加右減，上加下減”，容易出現(xiàn)移動方向弄反． 2．求二次函數(shù)與x軸交點坐標的方法是令y＝0解關于x的方程；求函數(shù)與y軸交點的方法是令x＝0得y值，容易出現(xiàn)求與x軸交點坐標時，令x＝0，求與y軸交點坐標時，令y＝0的錯誤．,3．根據(jù)a，b，c確定函數(shù)的大致圖象易錯點： (1)c的大小決定拋物線與y軸的交點位置，c＝0時，拋物線過原點，c0時，拋物線與y軸交于正半軸，c0時，對稱軸在y軸左側，當ab0時，對稱軸在y軸的右側．,類型之一 二次函數(shù)的圖象和性質 [2014·濱州]已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3. (1)用配方法求函數(shù)的頂點C的坐標，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減情況； (2)求函數(shù)圖象與x軸的交點A，B的坐標，及△ABC的面積． 解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1， ∴函數(shù)的頂點C的坐標為(2，－1)， ∴當x≤2時，y隨x的增大而減??；當x2時，y隨x的增大而增大；,1．[2015·樂山]二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋4的最大值為( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 y＝－(x－1)2＋5， ∵a＝－1＜0， ∴當x＝1時，y有最大值，最大值為5.,C,C,3．[2015·紹興]如果拋物線y＝ax2＋bx＋c過定點M(1，1)，則稱此拋物線為定點拋物線． (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案y＝2x2＋3x－4，請你寫出一個不同于小敏的答案； (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1，求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式，請你解答．,解：(1)依題意，選擇點(1，1)作為拋物線的頂點，二次項系數(shù)是1， 根據(jù)頂點式得y＝x2－2x＋2； (2)∵定點拋物線的頂點坐標為(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1， ∴c＝1－2b， ∵頂點縱坐標c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1， ∴當b＝1時，c＋b2＋1最小，拋物線頂點縱坐標的值最小，此時c＝－1， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x.,【點悟】 (1)從函數(shù)圖象上可知二次函數(shù)圖象的以下特征：①開口方向；②對稱軸；③頂點坐標；④與y軸交點坐標；⑤與x軸交點坐標．(2)求二次函數(shù)的頂點坐標有兩種方法：①配方法；②頂點公式法．,類型之二 二次函數(shù)的平移 [2015·成都]將拋物線y＝x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為( ) A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3 C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3 【解析】 拋物線y＝x2平移后的拋物線解析式為y＝(x＋2)2－3.,A,1．[2014·麗水]在同一平面直角坐標系內，將函數(shù)y＝2x2＋4x－3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得到圖象的頂點坐標是 ( ) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 【解析】 函數(shù)y＝2x2＋4x－3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到圖象y＝2(x－2)2＋4(x－2)－3－1，即y＝2(x－1)2－6，頂點坐標是(1，－6)．,C,2．拋物線y＝x2＋bx＋c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y＝x2－2x－3，則b，c的值為 ( ) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 【解析】 先配方為y＝(x－1)2－4，逆向思考把y＝(x－1)2－4先左移2個單位，再向上移3個單位得到解析式為y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化為一般式是y＝x2＋2x，故選擇B.,B,【點悟】 (1)二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標，然后求出平移后的頂點坐標，從而求出平移后二次函數(shù)的解析式．(2)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．,類型之三 二次函數(shù)的解析式的求法 [2014·寧波]如圖17－1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三點． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)設二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D，求點D的坐標； (3)在同一坐標系中畫出直線y＝x＋1，并寫出當x在什么范圍內時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．,圖17－1,[2015·遵義]如圖17－2，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(－4，0)，B(2，0)，與y軸交于點C(0，2)． (1)求拋物線的解析式； (2)若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積． 圖17－2,變式跟進答圖,【點悟】 (1)當已知拋物線上三點求二次函數(shù)的解析式時，一 般采用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)當已知拋物線頂點坐標(或對稱軸或最大、最小值)求解析式 時，一般采用頂點式y(tǒng)＝a(x－m)2＋k；(3)當已知拋物線與x軸 的交點坐標求二次函數(shù)的解析式時，一般采用兩根式 y＝a(x－x1)(x－x2)．,類型之四 二次函數(shù)與方程的關系 [2015·寧波]已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數(shù)． (1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；,1．[2015·蘇州]若二次函數(shù)y＝x2＋bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(2，0)且平行于y軸的直線，則關于x的方程x2＋bx＝5的解為 ( ) A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5,D,D,3．[2015·瀘州]若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象經(jīng)過點(2，0)，且其對稱軸為x＝－1，則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是 ( ) A．x＜－4或x＞2 B．－4≤x≤2 C．x≤－4或x≥2 D．－4＜x＜2 【解析】 ∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象經(jīng)過點(2，0)，且其對稱軸為x＝－1， ∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為(－4，0)， ∵a＜0，∴拋物線開口向下， 則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是－4＜x＜2.,D,類型之五 二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c之間的關系 [2015·遂寧]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖17－3所示，下列結論： ①2a＋b＞0，②abc＜0，③b2－4ac＞0， ④a＋b＋c＜0，⑤4a－2b＋c＜0， 其中正確的個數(shù)是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5,圖17－3,B,對于②，易得a＜0，對稱軸在y軸的右邊，故b＞0，拋物線與y 軸的交點在原點的下方，則c＜0，所以abc＞0，故②錯誤； 對于③，拋物線與x軸有兩個交點，所以b2－4ac＞0，故③正 確； 對于④，當x＝1時，顯然y的值為正，所以y＝a＋b＋c＞0， 故④錯誤； 對于⑤，當x＝－2時，顯然y的值為負， 所以y＝4a－2b＋c＜0，故⑤正確．,1．[2015·涼山]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖17－4所示，下列說法：①2a＋b＝0；②當－1≤x≤3時，y＜0；③若(x1，y1)，(x2，y2)在函數(shù)圖象上，當x1＜x2時，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正確的是( ) A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④,圖17－4,B,2．[2015·珠海]已知拋物線y＝ax2＋bx＋3的對稱軸是直線x＝1. (1)求證：2a＋b＝0； (2)若關于x的方程ax2＋bx－8＝0的一個根為4，求方程的另一個根．,【點悟】 二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向，與x軸有無交點，與y軸交點及對稱軸的位置入手，確定a，b，c及b2－4ac的符號，有時也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號．,類型之六 二次函數(shù)的綜合運用 [2015·武威]如圖17－5，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與x軸相交于點M. (1)求拋物線的解析式和對稱軸； (2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P， 使△PAB的周長最?。咳舸嬖?，請求出 點P的坐標；若不存在，請說明理由； 【解析】 (1)利用兩根式法設拋物線的 解析式為y＝a(x－1)(x－5)，代入A(0，4)；,圖17－5,(2)點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6，4)，連結BA′交對稱 軸于點P，連結AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′ 的解析式，即可得出點P的坐標．,(2)P點存在．理由如下： ∵點A(0，4)，拋物線的對稱軸是x＝3， ∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6，4)， 例6答圖 如答圖，連結BA′交對稱軸于點P，連結AP，此時△PAB的周 長最小．,如圖17－6，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的圖象與x軸的一個交點為A(3，0)，另一個交點為B，且與y軸交于點C. (1)求m的值； (2)求點B的坐標； (3)該二次函數(shù)圖象上有一點D(x，y) (其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC， 求點D的坐標．,圖17－6,【解析】 (1)將A(3，0)的坐標代入二次函數(shù)解析式 y＝－x2＋2x＋m；(2)令y＝0，解一元二次方程； (3)由于S△ABD＝S△ABC，則C，D關于二次函數(shù)對稱軸對稱． 解：(1)將A(3，0)的坐標代入二次函數(shù)解析式， 得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3； (2)二次函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3， 令y＝0， 得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1， ∴點B的坐標為(－1，0)；,(3)∵S△ABD＝S△ABC，點D在第一象限， ∴點C的縱坐標與點D的縱坐標相等， ∴點C，D關于二次函數(shù)對稱軸對稱． ∵由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為x＝1， ∵點C的坐標為(0，3)， ∴點D的坐標為(2，3)．,二次函數(shù)圖象平移方向弄反 (臨沂中考)要將拋物線y＝x2＋2x＋3平移后得到拋物線y＝x2， 下列平移方法正確的是 ( ) A．向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位 【錯解】錯成A或B或者C,【錯因】y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，又y＝x2＝(x＋1－1)2＋2－2，要得到拋物線y＝x2則平移的方法可以是：將拋物線y＝x2＋2x＋3向右平移1個單位，再向下平移3個單位．錯解中把左右，上下平移方向弄反了 【正解】D,