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3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題,,引例,某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？,解決問題,（1）用不等式組表示問題中的限制條件：,設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組：,,（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：,如圖，圖中的陰影部分的整點（坐標(biāo)為整數(shù)的點）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。,解決問題,（3）提出新問題：,進一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？,解決問題,（4）嘗試解答：,設(shè)工廠獲得的利潤為z，則z = 2x + 3y， ——求z的最大值。,解決問題,解決問題,（5）獲得結(jié)果：,每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元,,相關(guān)概念,,,,,y,x,4,8,4,3,,,o,,,,,,把求最大值或求最小值的的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，因為它是關(guān)于變量x、y的一次解析式，又稱線性目標(biāo)函數(shù)。,滿足線性約束的解（x，y）叫做可行解。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。,一組關(guān)于變量x、y的一次不等式，稱為線性約束條件。,由所有可行解組成的集合叫做可行域。,使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解。,可行域,可行解,最優(yōu)解,例5、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？,,分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格,解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么,目標(biāo)函數(shù)為：z＝28x＋21y,作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域,,,,,,,把目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y 變形為,,x,,y,o,,5/7,5/7,,6/7,3/7,,3/7,6/7,,,,,,它表示斜率為 隨z變化的一組平行直線系,是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時，z的值最小。,,,M,如圖可見，當(dāng)直線z＝28x＋21y 經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最小。,,M點是兩條直線的交點，解方程組,得M點的坐標(biāo)為：,所以zmin＝28x＋21y＝16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元。,例6、在上一節(jié)例3中,各截得這兩種鋼板多少張可得所需A,B,C三種規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?,,,例7、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？,解：設(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：,,x,,y,o,,,,,,解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：,把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。,,x,,y,o,,,,,由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。,故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元。,M,,,,,,容易求得M點的坐標(biāo)為 （2，2），則Zmin＝3,解線性規(guī)劃問題的步驟：,（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；,（3）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；,（4）答：作出答案。,（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；,鞏固練習(xí),,,2.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺A、B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？,設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為z，目標(biāo)函數(shù)為Z＝3x＋2y，滿足的條件是,,,,Z＝ 3x＋2y 變形為 它表示斜率為 的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。,,,X,Y,O,400,200,,250,,500,,,,當(dāng)直線經(jīng)過點M時，截距最大，Z最大。,M,,,,,解方程組,可得M（200，100）,Z 的最大值Z ＝ 3x＋2y＝800,故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最大，為80萬元。,線形目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次解析式,目標(biāo)函數(shù)：把要求的最大值的函數(shù),線形規(guī)劃：在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題,可行解：滿足線形約束條件的解叫做可行解,可行域：由所有可行解組成的集合,小 結(jié),