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第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù) 的引入 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)向量的有關(guān)概念: ①向量:既有_____,又有_____的量叫向量; ②模:向量的_____叫做向量的模,記作|a|或| |; ③零向量:長度等于0的向量,其方向是_______,記作0; ④單位向量:長度等于________的向量;,大小,方向,長度,任意的,1個單位,⑤平行向量:方向___________的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與 任一向量共線; ⑥相等向量:長度相等且方向_____的向量; ⑦相反向量:長度相等且方向_____的向量.,相同或相反,相同,相反,(2)向量的加法與減法:,相反向量,三角形,平行四邊形,b+a,a+(b+c),(3)向量的數(shù)乘運算及其幾何意義: ①定義:實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫向量的數(shù)乘,記作 λa,它的長度與方向規(guī)定如下: (ⅰ)|λa|= ________; (ⅱ)當λ0時,λa與a的方向_____;當λ0時,λa與a的方向_____; 當λ=0時,λa=0.,|λ||a|,相同,相反,②運算律:設λ,μ是兩個實數(shù),則 (ⅰ)________=(λμ)a; (ⅱ)(λ+μ)a=________; (ⅲ)λ(a+b)=________. (4)共線向量定理: 向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù)λ,使______.,λ(μa),λa+μa,λa+λb,b=λa,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)若存在非零實數(shù)λ,使得 或 則______三點共線. (2)若存在非零實數(shù)λ,使得 =λ ,則,A,B,C,(3)三個重要結(jié)論: ①相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性; ②向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量; ③平行向量與起點無關(guān). 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:數(shù)形結(jié)合法,待定系數(shù)法. (2)常用思想:數(shù)形結(jié)合,函數(shù)與方程.,(3)記憶口訣: ①向量的有關(guān)概念: 大小相等同方向,就是相等的向量.大小相等反方向,稱其互為負向量. 向量大小叫做模,模零向量零向量.零向量仍有方向,方向不定好商量. ②向量的加法: 向量可加亦可減,減即加上負向量.首尾銜接向量組,初始末終和向量. 起點公共兩向量,平行四邊形幫忙;公共起點是起點,對角線乃和向量.,③差向量: 起點公共兩向量,終點構(gòu)成差向量. ④向量求和: 非平行的兩向量,求和平行四邊形.平行向量要求和,需用法則三角形.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)單位向量只與模有關(guān),與方向無關(guān).( ) (2)零向量的模等于0,沒有方向.( ) (3)若兩個向量共線,則其方向必定相同.( ) (4)若a∥b,b∥c,則必有a∥c.( ) (5) =0.( ),【解析】(1)正確.由定義可知只要模為1的向量,就叫單位向量,與方 向無關(guān).(2)錯誤.零向量的方向是任意的.(3)錯誤.可能相同,也可能 相反,若有零向量,則兩向量方向不定.(4)錯誤.若b為0,則a不一定與c 共線.(5)正確. =0. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC,用 與 表示BC邊上 的中線向量 ,則 = . 【解析】 答案:,(2)(必修4P92B組T2改編)已知a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,則以a,b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為 . 【解析】如圖,在以a與b為鄰邊的四邊形中, |a+b|與|a-b|分別為四邊形的兩條對角線, 故由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知, 以a,b為鄰邊的四邊形是矩形. 答案:矩形,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2013·四川高考)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于 點O, 則λ= .,【解析】在平行四邊形ABCD中, 而 所以 故λ=2. 答案:2,(2)(2013·江蘇高考)設D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD= AB, BE= BC,若 (λ1,λ2為實數(shù)),則λ1+λ2的值為 . 【解析】由 則λ1+λ2的值為 . 答案:,(3)(2015·威海模擬)判斷下列四個命題: ①若a∥b,則a=b;②若|a|=|b|,則a=b; ③若|a|=|b|,則a∥b;④若a=b,則|a|=|b|.其中正確的是 .,【解析】①中兩向量共線,但這兩向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;②中兩向量的模相等,但方向不一定相同,故這兩向量不一定相等;③中兩向量的模相等,但兩向量不一定共線;④中兩向量相等,則模一定相等,故正確. 答案:④,考點1 平面向量的概念 【典例1】(1)(2015·濱州模擬)設a,b都是非零向量,下列四個條件 中,使 成立的充分條件是( ) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|,(2)(2015·洛陽模擬)給出下列命題: ①非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件; ②若 與 共線,則A,B,C三點在同一條直線上; ③若a與b同向,則a與-b反向; ④λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中錯誤命題的序號為 .,【解題提示】(1)利用向量相等與單位向量的概念求解. (2)利用共線向量定理逐一判斷.,【規(guī)范解答】(1)選C.由 表示與a同向的單位向量, 表示與b同 向的單位向量,故只要a與b同向即可,觀察可知C滿足題意. (2)對于①,因為向量a與b都是非零向量,所以該命題是正確的;對于 ②,因為向量 與 共線,且有公共點B,所以該結(jié)論是正確的;對 于③,因為b與-b反向,所以該結(jié)論正確;對于④,當λ=μ=0時,a與b可 為任意向量,不一定共線,所以④不正確. 答案:④,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點容易出錯. (1)不清楚 , 表示何種向量,不知道 是a方向上的單位向量. (2)求解時易忽視兩向量是同向還是反向,是共線還是相等.,【互動探究】若本例(2)④中的λ,μ都為非零實數(shù),該結(jié)論是否正確? 【解析】因為λ,μ都為非零實數(shù),則由λa=μb,得a= b,由共線向 量定理知該結(jié)論成立.,【規(guī)律方法】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點 (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制. (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等. (4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度. (5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制,長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.,【變式訓練】下列命題中正確的個數(shù)為( ) ①有向線段就是向量,向量就是有向線段; ②向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反; ③向量 與 向量共線,則A,B,C,D四點共線; ④如果a=b,b=c,那么a=c. A.1 B.2 C.3 D.0,【解析】選A.①不正確,向量可以用有向線段表示,但向量不是有向線段,有向線段也不是向量;②不正確,若a與b中有一個為零向量,零向量的方向是不確定的,故兩向量方向不一定相同或相反;③不正確,共線向量所在的直線可以重合,也可以平行;④正確,因為a=b,b=c,由相等向量的概念可知a與c方向相同,大小相等,故a=c.,【加固訓練】1.設a0為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0,上述命題中,假命題的個數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選D.向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個數(shù)是3.,2.(2015·南昌模擬)下列關(guān)于向量的敘述不正確的是( ) A.向量 的相反向量是 B.模長為1的向量是單位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四點在同一條直線上,且AB=CD,則 = D.若向量a與b滿足關(guān)系a+b=0,則a與b共線,【解析】選C.A,B顯然正確;對于C,如圖, A,B,C,D四點 滿足條件,但 ≠ ,所以C不正確;對于D,由a+b=0,得b=-a,由共 線向量定理知,a與b共線,所以D正確.,考點2 平面向量的線性運算 知·考情 平面向量的線性運算是高考考查的熱點內(nèi)容.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).考查向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,向量減法的三角形法則及向量的相等.,明·角度 命題角度1:利用向量加減運算的幾何意義求解向量問題 【典例2】(2014·浙江高考)記 設a,b為平面向量,則( ) A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,【解題提示】利用向量的平行四邊形法則,再比較模的大小. 【規(guī)范解答】選D.作出a,b,a+b,a-b, 由于|a+b|,|a-b|與|a|,|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān),故A,B錯,當a,b夾角為銳角時,|a+b||a-b|, 此時|a+b|2|a|2+|b|2,當a,b夾角為鈍角時,|a+b||a|2+|b|2,當a⊥b時,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故選D.,命題角度2:利用平面向量線性運算求解向量問題 【典例3】(2015·臨沂模擬)在△ABC中,若D是AB邊上一點且 則λ+μ=( ) A. B.1 C.-1 D.- 【解題提示】作出圖形利用向量線性運算求解.,【規(guī)范解答】選B.如圖所示,由三角形法則可知 故μ= ,λ= ,λ+μ= + =1.,悟·技法 平面向量線性運算的一般思路 (1)準確作出圖形,確定每一個點的位置. (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為要求的向量形式. (3)比較,觀察可知所求結(jié)果.,通·一類 1.(2015·廈門模擬)如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則 =( ),【解析】選C.設a= 以OP,OQ為鄰邊作平行四邊形,則夾在OP, OQ之間的對角線對應的向量即為向量a= 因為a和 長度相 等,方向相同,所以a= ,故選C.,2.(2015·九江模擬)已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點,且 那么一定有( ) 【解析】選D.由題意得 即,3.(2015·揚州模擬)在△ABC中,N是AC邊上一點且 P是BN 上一點,若 則實數(shù)m的值是 .,【解析】如圖所示.設 則 = 因為 所以λ= , 所以1-λ= ,所以m= . 答案:,4.(2015·蘭州模擬)任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,若 則λ+μ= . 【解析】如圖所示,因為E,F分別是AD與BC的中點, 所以 又因為 所以 ① 同理 ②,由①+②得, 所以 所以λ= ,μ= . 所以λ+μ=1. 答案:1,考點3 共線向量定理及其應用 【典例4】(1)(2015·沈陽模擬)已知向量a,b,c中任意兩個都不共線,并且a+b與c共線,b+c與a共線,那么a+b+c等于( ) A.a B.b C.c D.0,(2)如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點, ①用a,b表示向量 ②求證:B,E,F三點共線.,【解題提示】(1)利用共線向量定理及向量相等的概念求解. (2)①利用線性運算幾何意義求解.②利用共線向量定理得出.,【規(guī)范解答】(1)選D.因為a+b與c共線, 所以a+b=λ1c. ① 又因為b+c與a共線, 所以b+c=λ2a. ② 由①得:b=λ1c-a.,所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a, 所以 即 所以a+b+c=-c+c=0.,(2)①由已知可得: 因為 所以 = · (a+b)= (a+b), = b, = (a+b)-a = b- a, = b-a.,②由 = b- a, = b-a,得 = , 又 , 有公共點B,故B,E,F三點共線.,【規(guī)律方法】共線向量定理的應用 (1)證明向量共線:對于向量a,b,若存在實數(shù)λ,使a=λb,則a與b共線. (2)證明三點共線:若存在實數(shù)λ,使 則A,B,C三點共線. (3)求參數(shù)的值:利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參 數(shù)的值. 提醒:證明三點共線時,需說明共線的兩向量有公共點.,【變式訓練】設e1,e2是兩個不共線向量,已知 =2e1-8e2, =e1+3e2, =2e1-e2. (1)求證:A,B,D三點共線. (2)若 =3e1-ke2,且B,D,F三點共線,求k的值.,【解析】(1)由已知得 =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, 因為 =2e1-8e2,所以 =2 , 又有公共點B,所以A,B,D三點共線.,(2)由(1)可知 =e1-4e2,且 =3e1-ke2, 又因為B,D,F三點共線,所以存在實數(shù)λ,使得 =λ , 即3e1-ke2=λe1-4λe2,得 解得k=12,所以k=12.,【加固訓練】1.a=λb(λ∈R)是a與b共線的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.當a=λb(λ∈R)時,若b=0,則a=0,顯然a與b共線;若b≠0,則由共線向量定理知a與b共線. 反之,若a與b共線,當b=0,而a≠0時,a=λb(λ∈R)不成立.故選A.,2.設兩個非零向量a與b不共線. (1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b). 求證:A,B,D三點共線; (2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,【解析】(1)因為 =a+b, =2a+8b, =3(a-b), 所以 =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 , 所以 , 共線.又 與 有公共點B, 所以A,B,D三點共線.,(2)因為ka+b與a+kb共線, 所以存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb), 所以 所以k=±1.,自我糾錯11 利用共線向量定理求參數(shù) 【典例】(2015·鄭州模擬)已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+ (2λ-1)b,若c與d同向,則實數(shù)λ的值為________.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:上述解題過程忽視了c與d同向的條件,漏掉k的范圍限制從而忽略了λ的范圍限制導致錯解.,【規(guī)避策略】 1.準確理解向量共線的概念 兩個向量共線,是指兩個向量的方向相同或相反,因此共線包含兩種情況:同向共線或反向共線.在求解相關(guān)問題時要注意區(qū)分.一般地,若a=λb,那么a與b共線;當λ0時,a與b同向;當λ0時,a與b反向. 2.找清關(guān)系 利用向量共線往往需要引入?yún)?shù),要搞清引入的參數(shù)與已知條件中的參數(shù)關(guān)系,準確理解,從而確定要求的參數(shù).,【自我矯正】由于c與d同向,所以c=kd(k0), 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于a,b不共線,所以有 整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=- . 又因為k0,所以λ0,故λ=1. 答案:1,