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第2講 命題及其關系、充分條件與 必要條件,最新考綱 1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．,知 識 梳 理 1．四種命題及其關系 (1)四種命題間的相互關系,(2)四種命題的真假關系 ①兩個命題互為逆否命題，它們具有 的真假性． ②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性 ．,相同,沒有關系,2．充分條件、必要條件與充要條件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命題． (×) (2)一個命題非真即假． (√) (3)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180°”． (×) (4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件． (×) (5)給定兩個命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件． (√),,,,4．(2014·浙江卷)設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件,解析 因為菱形的對角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件；又因為對角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“AC⊥BD” “四邊形ABCD為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件． 綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件． 答案 A,5．(人教A選修1－1P10練習4改編)下列命題： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件； ②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要條件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要條件． 其中為真命題的是__________(填序號)． 答案 ②④,考點一 四種命題及其相互關系 【例1】 (1)(2014·陜西卷)原命題為“若＜an，n∈N＋，則{an}為遞減數(shù)列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是 ( ) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 (2)(2014·成都二診)下列說法正確的是________． ①命題“若x2＞1，則x＞1”的否命題為“若x2＞1，則x≤1”；②命題“若x＝y(tǒng)，則cos x＝cos y”的逆否命題為假命題；③命題“若x＝y(tǒng)，則cos x＝cos y”的逆命題為假命題．,,規(guī)律方法 (1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵．(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．,,,規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題．,【訓練2】 (1)(2014·北京卷)設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2014·天津卷)設a，b∈R，則“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件,,,,規(guī)律方法 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．,,[思想方法] 1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．,2．命題的充要關系的判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)等價法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價關系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法． (3)利用集合間的包含關系判斷：若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件．,[易錯防范] 對于命題正誤的判斷是高考的熱點之一，理應引起大家的關注，命題正誤的判斷可涉及各章節(jié)的內(nèi)容，覆蓋面寬，也是學生的易失分點．命題正誤的判斷的原則是正確的命題要有依據(jù)或者給以論證；不一定正確的命題要舉出反例，絕對不要主觀臆斷，這也是最基本的數(shù)學邏輯思維方式.,