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第六節(jié) 直接證明與間接證明,最新考綱展示 1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點． 2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點．,一、直接證明,二、間接證明 假設(shè)原命題 (即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法．,不成立,矛盾,1．綜合法與分析法是直接證明的兩種基本方法，綜合法的特點是從已知看可知，逐步推出未知．在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達混亂．分析法是從未知看須知，逐步靠攏已知．當命題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當前命題成立的充分條件，把證明轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題．,2．應(yīng)用反證法證題時必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要是指： (1)與已知條件矛盾． (2)與假設(shè)矛盾． (3)與定義、公理、定理矛盾． (4)與公認的簡單事實矛盾． (5)自相矛盾．,一、直接證明 1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明過程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”，此過程應(yīng)用了( ) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法 解析：結(jié)合推理及分析法和綜合法的定義可知，B正確． 答案：B,解析：a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. 答案：D,二、間接證明 3．(2014年東營模擬)用反證法證明命題“若a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是( ) A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)能被5整除 解析：至少有一個的反面應(yīng)是一個都沒有． 答案：B,答案：C,綜合法的應(yīng)用(師生共研),解析 (1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. (2)對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數(shù)． 對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1. 任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2) ＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0， 即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．,規(guī)律方法 用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍： (1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式． (2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型．在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達混亂．,1．定義：若數(shù)列{An}滿足An＋1＝A，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝2x2＋2x的圖象上，其中n為正整數(shù)，證明：數(shù)列{2an＋1}是“平方遞推數(shù)列”． 證明：∵點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝2x2＋2x的圖象上， ∴an＋1＝2a＋2an， ∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2， ∴{2an＋1}是“平方遞推數(shù)列”．,證明 ∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立， 故原不等式得證．,分析法的應(yīng)用(師生共研),規(guī)律方法 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“須知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立．通常采用“欲證——只需證——已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范．,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列．,反證法的應(yīng)用(師生共研),規(guī)律方法 (1)當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等． (2)用反證法證明不等式要把握三點： ①必須否定結(jié)論． ②必須從否定結(jié)論進行推理． ③推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．,3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠Ba，bc.,