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考點突破,夯基釋疑,考點一,考點三,考點二,例 1,訓練1,例 2,訓練2,例 3,訓練3,第 1 講 導數(shù)的概念及運算,概要,課堂小結,,判斷正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．( ) (2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．( ) (3)已知曲線y ＝ x3 ，則過點P(1，1)的切線有兩條.( ) (4)物體運動的方程是s＝ － 4t 2＋16t ，在某一時刻的速度為0，則相應的時刻 t ＝2 . ( ) (5)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．( ),夯基釋疑,考點突破,考點一 導數(shù)的運算,,,利用公式及求導法則,,,解 (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′,＝excos x－exsin x.,考點突破,規(guī)律方法 (1)求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． (2)復合函數(shù)求導時，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元．,考點一 導數(shù)的運算,,,考點突破,考點一 導數(shù)的運算,,考點突破,考點二 導數(shù)的幾何意義及其應用,,【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．,點(2，f(2))是切點,,,點A不一定是切點,,,解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0.,,考點突破,考點二 導數(shù)的幾何意義及其應用,,【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．,點(2，f(2))是切點,,,點A不一定是切點,,,(2)設曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點,整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，,∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0， 或y＋2＝0.,考點突破,考點二 導數(shù)的幾何意義及其應用,規(guī)律方法 求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線．曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設出切點的坐標，再根據(jù)已知點在切線上求解．,,考點突破,則f′(1)＝1， 故函數(shù)f(x)在點(1，－2)處的切線方程為 y－(－2)＝x－1， 即x－y－3＝0.,,考點二 導數(shù)的幾何意義及其應用,,考點突破,(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)， 又f′(x)為偶函數(shù)，則a＝0， 所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3， 故f′(0)＝－3， 故所求的切線方程為y＝－3x. 答案 (1)C (2)B,,考點二 導數(shù)的幾何意義及其應用,,考點突破,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【例3】(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍; (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論),,解 (1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.,,,考點突破,(2)設過點P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(x0，y0)，,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【例3】(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍; (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論),設g(x)＝4x3－6x2＋t＋3， 則“過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切” 等價于“g(x)有3個不同零點”． g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．,,,考點突破,g(x)與g′(x)的變化情況如下表：,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【例3】(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍; (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論),所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值；g(1)＝t＋1是g(x)的極小值． 當g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時， 此時g(x)在區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上分別至多有1個零點， 所以g(x)至多有2個零點．,,,考點突破,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【例3】(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍; (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論),此時g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個零點， 所以g(x)至多有2個零點． 當g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時， 因為g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0， 所以g(x)分別在區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1個零點． 由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調， 所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個零點． 綜上可知，當過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時， t的取值范圍是(－3，－1)．,,,考點突破,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【例3】(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值； (2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍; (3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論),(3)過點A(－1，2)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切； 過點B(2，10)存在2條直線與曲線y＝f(x)相切； 過點C(0，2)存在1條直線與曲線y＝f(x)相切．,,考點突破,規(guī)律方法 解決本題第(2)問的關鍵是利用曲線上點的坐標表示切線方程，可將問題等價轉化為關于x0的方程有三個不同的實根，構造函數(shù)后，研究函數(shù)的單調性和極值，通過數(shù)形結合方法找到t滿足的條件即可；第(3)問類比第(2)問方法即可．,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,,考點突破,解 (1)對于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2, 對于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a， 設C1與C2的一個交點為(x0，y0)， 由題意知過交點(x0，y0)的兩切線互相垂直． ∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，,又點(x0，y0)在C1與C2上，,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【訓練3】設函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直． (1)求a，b之間的關系； (2)求ab的最大值．,,考點突破,接上一頁,考點三 導數(shù)幾何意義的綜合應用,【訓練3】設函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直． (1)求a，b之間的關系； (2)求ab的最大值．,,1．f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0.,2．對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤．對于復合函數(shù)求導，關鍵在于分清復合關系，適當選取中間變量，然后“由外及內”逐層求導．,思想方法,課堂小結,,1．利用公式求導時要特別注意不要將冪函數(shù)的求導公式(xn)′ ＝nxn－1與指數(shù)函數(shù)的求導公式(ax)′ ＝axlnx混淆．,易錯防范,課堂小結,2．直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質特征，直線與曲線只有一個公共點，不能說明直線就是曲線的切線，反之，直線是曲線的切線，也不能說明直線與曲線只有一個公共點．,3．曲線未必在其切線的“同側”，例如直線y＝0是曲線y＝x3在點(0，0)處的切線．,