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考點突破,夯基釋疑,考點一,考點三,考點二,例 1,訓練1,例 2,訓練2,例 3,訓練3,第 8 講 函數(shù)與方程,概要,課堂小結,,判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．( ) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0時沒有零點．( ) (4)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．( ),夯基釋疑,,,考點突破,解析 (1)∵f(x)＝ex＋x－4， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， ∴函數(shù)f(x)在R上單調遞增， 對于A項，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0， f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正確； 同理可驗證B，D不正確， 對于C項，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0， f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0. 故f(x)的零點位于區(qū)間(1，2)．,考點一 函數(shù)零點的判斷與求解,,利用零點存在性定理,,,,考點突破,(2)當x≥0時，f(x)＝x2－3x， 令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)， ∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x. 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，,考點一 函數(shù)零點的判斷與求解,,轉化為求方程g(x)＝0的根,,答案 (1)C (2)D,考點突破,規(guī)律方法 (1)確定函數(shù)的零點所在的區(qū)間時，通常利用零點存在性定理，轉化為確定區(qū)間兩端點對應的函數(shù)值的符號是否相反． (2)根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程根的關系可知，求函數(shù)的零點與求相應方程的根是等價的．對于求方程f(x)＝g(x)的根，可以構造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，函數(shù)F(x)的零點即方程f(x)＝g(x)的根．,考點一 函數(shù)零點的判斷與求解,,,考點突破,解析 當x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 當x＞1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，,考點一 函數(shù)零點的判斷與求解,又因為x＞1， 所以此時方程無解． 綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0. 答案 D,,考點突破,考點二 根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值,,故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e， 則y＝g(x)－m就有零點．,可知若使y＝g(x)－m有零點， 則只需m≥2e.,等號成立的條件是x＝e，,如圖．,,,,利用數(shù)形結合,,,,,考點突破,考點二 根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值,,∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2. 故當m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時， g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．,可知若使y＝g(x)－m有零點， 則只需m≥2e.,(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根， 即y＝g(x)與y＝f(x)的圖象有兩個不同的交點，,如圖．,考點突破,規(guī)律方法 函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．,考點二 根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值,,考點突破,則有f(1)·f(2)＜0， 所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0. 所以0＜a＜3.,,考點二 根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值,考點突破,考點二 根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值,,,(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知， 若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根， 則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個不同的交點， 此時需滿足0＜a＜1，故選D． 答案 (1)C (2)D,,,,考點突破,解 令f(x)＝0，則Δ＝(3a－2)2－4(a－1),考點三 與二次函數(shù)有關的零點問題,【例3】是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1，3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．,＝9a2－16a＋8,∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0，,檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1， 所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1，3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠1.,即f(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，,,,考點突破,方程在[－1，3]上有兩個實數(shù)根，,考點三 與二次函數(shù)有關的零點問題,【例3】是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1，3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．,,考點突破,規(guī)律方法 解決與二次函數(shù)有關的零點問題： (1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系； (3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組．,考點三 與二次函數(shù)有關的零點問題,,考點突破,解 法一 設方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1＜x2)， 則(x1－1)(x2－1)＜0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0， 由根與系數(shù)的關系， 得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0， 即a2＋a－2＜0， ∴－2＜a＜1.,【訓練3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍．,考點三 與二次函數(shù)有關的零點問題,,考點突破,法二 函數(shù)圖象大致如圖， 則有f(1)＜0， 即1＋(a2－1)＋a－2＜0， ∴－2＜a＜1. 故實數(shù)a的取值范圍是(－2，1)．,【訓練3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍．,考點三 與二次函數(shù)有關的零點問題,,1．函數(shù)零點的判定常用的方法有： (1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結合；(3)解方程f(x)＝0.,2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．,3．轉化思想：方程解的個數(shù)問題可轉化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉化為函數(shù)值域問題．,思想方法,課堂小結,,1．函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．,2．函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調性、對稱性或結合函數(shù)圖象．,易錯防范,課堂小結,