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第七章 立體幾何與空間向量,第4節(jié) 直線、平面平行的判 定及性質(zhì),,1．以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理． 2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．,[要點(diǎn)梳理] 1．直線與平面平行 (1)判定定理,,,,,,平行,l∥α,,(2)性質(zhì)定理,平行,a∥b,質(zhì)疑探究1：若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都平行，是否a∥α？ 提示：有可能a?α.,2．平面與平面平行 (1)判定定理,相交直線,(2)性質(zhì)定理,平行,a∥b,質(zhì)疑探究2：(1)能否由線線平行推證面面平行？ (2)能否由線面垂直推證面面平行？ 提示：(1)可以，只需一平面內(nèi)兩相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，即得兩平面平行． (2)可以，只需兩平面垂直于同一直線，即得面面平行． 質(zhì)疑探究3：如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面一定平行嗎？,提示：不一定．如果這無(wú)數(shù)條直線都平行，則這兩個(gè)平面就不一定平行，可能相交，此時(shí)無(wú)數(shù)條直線都平行于交線． 質(zhì)疑探究4：由公理4知直線與直線的平行有傳遞性，那么平面與平面的平行具有傳遞性嗎？ 提示：有．即三個(gè)不重合的平面α，β，γ，若α∥ γ，β∥ γ，則α∥ β.,[基礎(chǔ)自測(cè)] 1．設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是( ) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β,[解析] 利用相應(yīng)的判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，可以參考教室內(nèi)存在的線面關(guān)系輔助分析．選項(xiàng)A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；選項(xiàng)C，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系有三種可能：l⊥β，l∥β，l?β，故錯(cuò)誤．故選B. [答案] B,2．下列命題正確的是( ) A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行 C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行 D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行,[解析] 利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)解答． A錯(cuò)誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交；B錯(cuò)誤，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中，A、B在α的同側(cè)，而點(diǎn)C在α的另一側(cè)，且AB平行于α，此時(shí)可有A、B、C三點(diǎn)到平面α距離相等，但兩平面相交；D錯(cuò)誤，如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個(gè)面相交，故選C. [答案] C,3．(2015·長(zhǎng)沙模擬)若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是( ) A．b?α B．b∥α C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α [解析] 當(dāng)b與α相交或b?α或b∥α?xí)r，均滿足直線a⊥b，且直線a ∥平面α的情況，故選D. [答案] D,4．已知α、β是不同的兩個(gè)平面，直線a?α，直線b?β，命題p∶a與b沒有公共點(diǎn)；命題q：α∥β，則p是q的____________條件． [解析] ∵a與b沒有公共點(diǎn)，不能推出α∥β， 而α∥β時(shí)，a與b一定沒有公共點(diǎn)， 即p?/ q，q?p，∴p是q的必要不充分條件． [答案] 必要不充分,5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為__________．,[解析] 如圖．連接BD與AC交于O點(diǎn)，連接OE， 所以O(shè)E∥ BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. [答案] 平行,[典例透析] 考向一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例1 如圖，四棱錐P－ABCD中，,,AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)． (1)求證：MN∥AB； (2)求證：CE∥面PAD.,思路點(diǎn)撥 (1)由中點(diǎn)聯(lián)想中位線MN ∥ DC∥AB. (2)可在PAD中尋作與CE平行的線，或者利用面CEF ∥面PAD，證CE ∥面PAD. [證明] (1)∵M(jìn)、N為PD、PC的中點(diǎn)， ∴MN ∥ DC，又∵DC ∥ AB， ∴MN ∥ AB.,圖(1),所以CE ∥ DH. 又DH?平面PAD，CE?平面PAD， 所以CE∥平面PAD.,圖(2),拓展提高 (1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行． (2)證明直線與平面平行的方法：①利用定義結(jié)合反證；②利用線面平行的判定定理；③利用面面平行的性質(zhì)． 提醒：證明線面平行時(shí)，要注意說(shuō)明已知直線不在平面內(nèi)．,活學(xué)活用1 (2015·湛江模擬)如圖，在直三棱柱(側(cè)菱與底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．,,求證：AC1∥平面CDB1.,[證明] 設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE， ∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1. ∵DE?平面CDB1， AC1?平面CDB1， ∴AC1 ∥平面CDB1.,考向二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：,,思路點(diǎn)撥 (1)要證明B，C，H，G四點(diǎn)共面，只需要證明直線GH與直線BC共面，即證明GH∥BC即可． (2)要證明平面EFA1與平面BCHG平行，可利用面面平行的判定定理證明．,互動(dòng)探究 在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.,[證明] 如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)H，,,因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形， 所以H是A1C的中點(diǎn)， 連接HD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)， 所以A1B∥HD. 因?yàn)锳1B?平面A1BD1， DH?平面A1BD1，所以DH∥平面A1BD1.,又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD， 所以四邊形BDC1D1為平行四邊形， 所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1， BD1?平面A1BD1， 所以DC1∥平面A1BD1，又因?yàn)镈C1∩DH＝D， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.,拓展提高 1.判定面面平行的方法,2.面面平行的性質(zhì) (1)兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面． (2)若一平面與兩平行平面相交，則交線平行． 提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說(shuō)明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行． 重視三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問(wèn)題的指導(dǎo)思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向．,,考向三 空間平行的探索問(wèn)題 例3 (2015·東城區(qū)綜合練習(xí))一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)． (1)求該多面體的體積與表面積； (2)當(dāng)FG＝GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．,,思路點(diǎn)撥 (1)由三視圖得出幾何體的特征，計(jì)算體積． (2)猜想P在AD上的位置來(lái)證明GP∥面FMC.,拓展提高 平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題，主要是對(duì)點(diǎn)的存在性問(wèn)題的探索，一般用轉(zhuǎn)化方法求解，即先確定點(diǎn)的位置．把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明問(wèn)題，而證明線面平行時(shí)又有兩種轉(zhuǎn)化方法，一是轉(zhuǎn)化為線線平行，二是轉(zhuǎn)化為面面平行．,活學(xué)活用3 如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點(diǎn)． (1)求三棱錐A—PDE的體積； (2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．,,(2)取AC中點(diǎn)M，連接EM，DM，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，所以EM∥PA.,,思想方法15 立體幾何證明問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想 典例 如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1,,,的中點(diǎn)． 求證：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 審題視角 (1)要證線面平行，需證線線平行．(2)要證面面垂直，需證 線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直. 規(guī)范解答,[證明] (1)如圖所示，連接NK. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，,,∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1， C1D1∥CD，C1D1＝CD. ∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)， ∴DN∥D1K，DN＝D1K， ∴四邊形DD1KN為平行四邊形． ∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.,提醒：(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理； (2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證題中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等； (3)證明過(guò)程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書寫要規(guī)范．,成功破障 (2014·北京高考) 如圖，在三棱柱ABC -A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)． (1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求證：C1F∥平面ABE； (3)求三棱錐E - ABC的體積．,,(1)[證明] 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 所以BB1⊥AB. 又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)[證明] 取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.,,[思維升華] 【方法與技巧】,1．在判定和證明直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，除熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理外，切不可丟棄定義，因?yàn)槎x既可作判定定理使用，亦可作性質(zhì)定理使用． 2. 直線與平面平行的主要判定方法 (1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)． 3. 平面與平面平行的主要判定方法 (1)定義法；(2)判定定理；(3)推論； (4)a⊥α，a⊥β?α∥β.,【失誤與防范】,1．在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 2．在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”． 3．解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用．,