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高考大題專項突破五 直線與圓錐曲線壓軸大題,考情分析,必備知識,從近五年的高考試題來看,圓錐曲線問題在高考中屬于必考內(nèi)容,并且常常在同一份試卷上多題型考查.對圓錐曲線的考查在解答題部分主要體現(xiàn)以下考法:第一問一般是先求圓錐曲線的方程或離心率等較基礎(chǔ)的知識;第二問往往涉及定點、定值、最值、取值范圍等探究性問題,解決此類問題的關(guān)鍵是通過聯(lián)立方程來解決.,考情分析,必備知識,1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點,僅有一個公共點及有兩個相異的公共點. (2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.,①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合). ②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac. 當Δ0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點; 當Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點; 當Δ0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.,考情分析,必備知識,考情分析,必備知識,4.求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算” (1)定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設(shè)出標準方程. (2)計算,就是利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn0),拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0). (3)橢圓與雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常數(shù),當AB0時,表示焦點在y軸上的橢圓;當BA0時,表示焦點在x軸上的橢圓;當AB0時,表示雙曲線.,考情分析,必備知識,5.通徑:過橢圓、雙曲線、拋物線的焦點垂直于焦點所在坐標軸的弦稱為通徑,橢圓與雙曲線的通徑長為 ,過橢圓焦點的弦中通徑最短;拋物線通徑長是2p,過拋物線焦點的弦中通徑最短.橢圓上點到焦點的最長距離為a+c,最短距離為a-c. 6.定值、定點問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點,就是要求的定點.解決這類問題的關(guān)鍵就是引進參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.,考情分析,必備知識,題型一,題型二,題型三,題型一 求軌跡方程 突破策略一 直接法 例1(2017湖南長沙一模,文20)已知過點A(0,2)的動圓恒與x軸相切,設(shè)切點為B,AC是該圓的直徑. (1)求點C軌跡E的方程; (2)當AC不在坐標軸上時,設(shè)直線AC與曲線E交于另一點P,該曲線在點P處的切線與直線BC交于Q點,求證:△PQC恒為直角三角形. 思路導(dǎo)引(1)利用AC是直徑,所以BA⊥BC,或C,B均在坐標原點,由此求點C軌跡E的方程.,突破1 直線與圓及圓錐曲線,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得若動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,則設(shè)出動點坐標,直接利用等量關(guān)系建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0,就得到軌跡方程.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練1已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點. (1)求點M的軌跡方程; (2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,突破策略二 相關(guān)點法,(1)求曲線C的方程; (2)若動直線l2:y=kx+m與曲線C有且僅有一個公共點,過F1(-1,0),F2(1,0)兩點分別作F1P⊥l2,F2Q⊥l2,垂足分別為P,Q,且記d1為點F1到直線l2的距離,d2為點F2到直線l2的距離,d3為點P到點Q的距離,試探索(d1+d2)·d3是否存在最值?若存在,請求出最值.,題型一,題型二,題型三,思路導(dǎo)引(1)設(shè)圓C1:x2+y2=R2,根據(jù)圓C1與直線l1相切,求出圓的方程為x2+y2=12,由此利用相關(guān)點法能求出曲線C的方程. (2)將直線l2:y=kx+m代入曲線C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、直線方程、橢圓性質(zhì)、弦長公式,結(jié)合已知條件能求出(d1+d2)·d3存在最大值,并能求出最大值.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得若動點P的運動是由另外某一點Q的運動引發(fā)的,而該點坐標滿足某已知曲線方程,則可以設(shè)出P(x,y),用(x,y)表示出相關(guān)點Q的坐標,然后把點Q的坐標代入已知曲線方程,即可得到動點P的軌跡方程.,題型一,題型二,題型三,(1)求曲線C的方程; (2)直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P,Q兩點,求△OPQ面積的最大值.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,突破策略三 定義法 例3已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|. 思路導(dǎo)引(1)將圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心連線的關(guān)系,從而利用橢圓的定義求出軌跡方程. (2)在三個圓心構(gòu)成的三角形中,由兩邊之差小于第三邊得動圓的最大半徑為2,此時動圓圓心在x軸上,由直線l與圓P,圓M都相切構(gòu)成相似三角形,由相似比得直線l在x軸上的截距,利用直線l與圓M相切得l的斜率,聯(lián)立直線與曲線C的方程,由弦長公式求出|AB|.,題型一,題型二,題型三,解 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1. 圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得1.若動點的軌跡符合某已知曲線的定義,可直接設(shè)出相應(yīng)的曲線方程,用待定系數(shù)法或題中所給幾何條件確定相應(yīng)系數(shù),從而求出軌跡方程. 2.涉及直線與圓的位置關(guān)系時,應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進行運算求解往往會減少運算量.,題型一,題型二,題型三,(1)求軌跡E的方程; (2)設(shè)點A,B,C在E上運動,A與B關(guān)于原點對稱,且|AC|=|BC|,當△ABC的面積最小時,求直線AB的方程.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型二 直線和圓的綜合 突破策略 幾何法 例4已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標原點O在圓M上; (2)設(shè)圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 思路導(dǎo)引(1)因為圓M是以AB為直徑的圓,所以要證原點O在圓M上只需證OA⊥OB?kOA·kOB=-1; (2)聯(lián)立直線與拋物線的方程?線段AB中點坐標?圓心M的坐標(含參數(shù))?r=|OM|;圓M過點P(4,-2)? =0?參數(shù)的值?直線l與圓M的方程.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得處理直線與圓的綜合問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用,如經(jīng)常用到弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡化.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練4已知圓O:x2+y2=4,點 ,以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點B的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程; (2)直線AB交圓O于C,D兩點,當B為CD的中點時,求直線AB的方程.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型三 直線與圓錐曲線的綜合 突破策略 判別式法 例5在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1: (ab0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 思路導(dǎo)引(1)由焦點坐標知c=1,由點P在橢圓上知b,從而求得橢圓方程. (2)求直線方程即求直線方程中的斜率k,截距m,由l同時與橢圓C1和拋物線C2相切,聯(lián)立兩個方程組,由判別式等于0得出關(guān)于k,m的兩個方程,解之得直線方程.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得1.判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時,可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0. 2.依據(jù)直線與圓錐曲線的交點個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程組并消元轉(zhuǎn)化為一元方程,若二次項系數(shù)為0,則方程為一次方程;若二次項系數(shù)不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.,題型一,題型二,題型三,(1)求橢圓C的方程; (2)如圖,若斜率為k(k≠0)的直線l與x軸、橢圓C相交于A,M,N(A點在橢圓右頂點的右側(cè)),且∠NF2F1=∠MF2A.求證:直線l恒過定點,并求出斜率k的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,突破2 圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題 題型一 圓錐曲線中的最值問題 突破策略 函數(shù)最值法,(1)求直線AP斜率的取值范圍; (2)求|PA|·|PQ|的最大值.,題型一,題型二,題型三,(2)以AP斜率k為自變量,表示出|PA|,聯(lián)立直線AP與BQ的方程用k表示出點Q的橫坐標,從而用k表示出|PQ|,得到|PA|·|PQ|是關(guān)于k的函數(shù),用函數(shù)求最值的方法求出最大值.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得圓錐曲線中的有關(guān)平面幾何圖形面積的最值問題,通過某一變量表示出圖形的面積的函數(shù)表達式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,然后求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的幾何意義求最值.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練1(2017山西臨汾三模,文20)已知拋物線y2=8x與垂直x軸的直線l相交于A,B兩點,圓C:x2+y2=1分別與x軸正、負半軸相交于點P,N,且直線AP與BN交于點M. (1)求證:點M恒在拋物線上; (2)求△AMN面積的最小值.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型二 圓錐曲線中的范圍問題(多維探究) 突破策略一 條件轉(zhuǎn)化法,(1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)過點P的動直線l與E相交于M,N兩點,當坐標原點O位于以MN為直徑的圓外時,求直線l斜率的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得求某一量的取值范圍,要看清與這個量有關(guān)的條件有幾個,有幾個條件就可轉(zhuǎn)化為幾個關(guān)于這個量的不等式,解不等式取交集得結(jié)論.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練2 如圖,動點M與兩定點A(-1,0),B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA= 2∠MAB.設(shè)動點M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設(shè)直線y=-2x+m與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ||PR|,求 的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,突破策略二 構(gòu)造函數(shù)法,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得在求直線與圓錐曲線的綜合問題中,求與直線或與圓錐曲線有關(guān)的某個量d的取值范圍問題,依據(jù)已知條件建立關(guān)于d的函數(shù)表達式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的取值范圍問題,然后利用函數(shù)的方法或解不等式的方法求出d的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練3 如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直線AF交拋物線于另一點B,過點B與x軸平行的直線和過點F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M.求點M的橫坐標的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,所以m2. 經(jīng)檢驗,m2滿足題意. 綜上,點M的橫坐標的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).,題型一,題型二,題型三,題型三 圓錐曲線中的證明問題 突破策略 轉(zhuǎn)化法,思路導(dǎo)引(1)A是橢圓的左頂點及MA⊥NA?AM的傾斜角為 ?AM的方程再代入橢圓方程?yM?△AMN的面積. (2)MA⊥NA?kMA·kNA=-1?用k表示出兩條直線方程,分別與橢圓聯(lián)立,用k表示出|AM|與|AN|,2|AM|=|AN|?f(k)=0?k是函數(shù)f(t)的零點,對f(t)求導(dǎo)確定f(t)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,再由零點存在性定理求出k的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得圓錐曲線中的證明問題涉及證明的范圍比較廣,但無論證明什么,其常用方法有直接法和轉(zhuǎn)化法,對于轉(zhuǎn)化法,先是對已知條件進行化簡,根據(jù)化簡后的情況,將證明的問題轉(zhuǎn)化為另一問題.,題型一,題型二,題型三,對點訓(xùn)練4(2017貴州貴陽二模,文20)已知橢圓C (a0)的焦點在x軸上,且橢圓C的焦距為2. (1)求橢圓C的標準方程; (2)過點R(4,0)的直線l與橢圓C交于兩點P,Q,過點P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點N,F為橢圓C的右焦點,求證:三點N,F,Q在同一條直線上.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,突破3 圓錐曲線中的定點、定值與存在性問題 題型一 圓錐曲線中的定點問題(多維探究) 突破策略一 直接法,(1)求動點P的軌跡C的方程; (2)過點F(1,0)作互相垂直的兩條直線交軌跡C于點G,H,M,N,且E1,E2分別是GH,MN的中點.求證:直線E1E2恒過定點.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,(1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)橢圓E的右頂點為A,不過點A的直線l與橢圓E相交于P,Q兩點,若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點A,求證:直線l過定點,并求出該定點坐標.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得證明直線或曲線過某一定點(定點坐標已知),可把要證明的結(jié)論當條件,逆推上去,若得到使已知條件成立的結(jié)論,則證明了直線或曲線過定點.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型二 圓錐曲線中的定值問題 突破策略 直接法 例3(2017全國Ⅲ,文20)在直角坐標系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點,點C的坐標為(0,1).當m變化時,解答下列問題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由; (2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 思路導(dǎo)引(1)先假設(shè)能出現(xiàn)AC⊥BC,然后驗證直線AC,BC的斜率之積是否為-1,從而得結(jié)論. (2)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),點C的坐標已知,由A,B,C三點?AB,BC的中垂線方程?圓心坐標及圓半徑?圓在y軸上的弦長.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得證明某一量為定值,一般方法是用一個參數(shù)表示出這個量,通過化簡消去參數(shù),得出定值,從而得證.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,(1)解 由已知A,B在橢圓上,可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 又△ABF1的周長為8, 所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,即a=2. 由橢圓的對稱性可得, △AF1F2為正三角形當且僅當A為橢圓短軸頂點, 則a=2c,即c=1,b2=a2-c2=3,,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型三 圓錐曲線中的存在性問題 突破策略 肯定順推法,(1)求橢圓的方程; (2)橢圓左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,則△F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.,題型一,題型二,題型三,,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,解題心得存在性問題通常用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化,其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組),若方程(組)有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,