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3.1 函數與方程,3．1.1 方程的根與函數的零點,復習 1．方程的根與函數的零點 (1)函數零點的概念． 對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫函數y＝f(x)的零點．函數的零點是一個實數．,(2)方程的根與函數零點的關系． 求函數y＝f(x)的零點，就是求方程f(x)＝0的實數根．方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點． 2．函數零點的判斷 如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．,思考感悟 1．函數的零點就是點，任何函數都有零點，對嗎？ 提示：函數的零點不是點，而是對應方程的根；并不是任何函數都有零點，如函數y＝x2＋x＋1就沒有零點． 2．如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，在區(qū)間(a，b)上就沒有零點嗎？,提示：當f(a)f(b)0時，在(a，b)上就沒有零點，當f(a)f(b)0時，(a，b)上亦可能有零點．并且當f(a)f(b)0時，(a，b)上也不一定只有一個零點，若另有f(x)在(a，b)上單調，可說明f(x)在(a，b)上有一個零點．,答案：B,2．函數y＝x2－3x＋1的零點個數是( ) A．0 B．1 C．2 D．不確定 答案：C 3．已知函數f(x)在區(qū)間[a，b]上單調，且f(a)f(b)0，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)上( ) A．至少有三個零點 B．可能有兩個零點 C．沒有零點 D．必有唯一的零點 答案：D,4．若函數f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點，則實數a的取值范圍是( ) A．a1 C．a≤1 D．a≥1 解析：函數f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點，就是方程x2＋2x＋a＝0沒有實數根，故判別式Δ＝4－4a1. 答案：B,5．已知函數f(x)為偶函數，其圖象與x軸有四個交點，則該函數所有零點之和為__________． 解析：∵f(x)為偶函數， ∴f(x)的圖象關于y軸對稱， ∴f(x)的零點也關于y軸對稱， ∴即零點之和為0. 答案：0,互 動 課 堂,典 例 導 悟 類型一 函數零點的概念及求法 [例1] 求函數y＝－x2－2x＋3的零點，并指出y0，y0時，x的取值范圍．,[解] 如圖1所示，解二次方程 －x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1， ∴函數y＝－x2－2x＋3的零點為－3,1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，畫出這個函數的簡圖，從圖象上可以看出當－30；當x1時，y0. ∴函數y＝－x2－2x＋3的零點是－3,1.,當y0時，x的取值范圍是(－3,1)； 當y0(0)的解集，體現(xiàn)了數形結合的思想方法．,變式體驗1 (1)若函數f(x)＝x2＋ax＋b的零點是2和－4，求a、b的值． (2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一個零點3，則函數g(x)＝bx2＋3ax的零點是________．,類型二 函數零點的判斷 [例2] 判斷下列函數在給定區(qū)間上是否存在零點． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． [分析] 零點的存在性判斷可依據零點的存在性定理，有時也可以結合圖象進行判斷．,[解] (1)法1：∵f(1)＝－200. ∴f(1)f(8)0， ∴f(－1)f(2)0， ∴函數f(x)在[－1,2]內存在零點．,變式體驗2 求函數f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數． 解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－10， ∴f(x)在(0,2)上必定存在實根，,又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數， 故f(x)有且只有一個實根． 解法2：在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的疊合圖． 由圖象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一個交點， 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．,點評：判斷函數零點個數的方法主要有： ①用計算器或計算機計算并描點作出函數f(x)＝g(x)－h(huán)(x)的圖象，由圖象、函數的單調性及零點的判斷方法作出判定，如本例法一； ②由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的疊合圖，利用圖象判定方程根的個數，如本例法二；在實際運用中，大多數選用法二．,類型三 函數零點的應用 [例3] 函數y＝x2＋2px＋1的零點一個大于1，一個小于1，求p的取值范圍． [分析] 二次函數的零點即函數圖象與x軸的交點，因此借助二次函數圖象，利用數形結合法來研究．,[解] 解法1：記f(x)＝x2＋2px＋1，則函數f(x)的圖象開口向上，當f(x)的零點一個大于1，一個小于1時，即f(x)與x軸的交點一個在(1,0)的左方，另一個在(1,0)的右方， ∴必有f(1)0，即12＋2p＋10. ∴p－1. ∴p的取值范圍為(－∞，－1)．,變式體驗3 已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內，另一根在區(qū)間(1,2)內，求m的值． 分析：設出二次方程對應的函數，畫出相應的示意圖，然后用函數的性質加以限制，通過解不等式組來解決．,思 悟 升 華 1．對于函數零點的概念，應注意以下幾點問題： (1)函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零． (2)函數的零點也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．,2．對函數零點的判定定理的理解 (1)函數零點的判定定理是一個存在性定理，也就是說，當函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)0，但f(x)＝0在(－1,3)內有三個根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.,3．函數零點的求法： (1)代數法：求方程f(x)＝0的實數根． (2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點．,