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第十四章 推理與證明,高考理數(shù),一、推理,知識(shí)清單,,,二、證明 1.直接證明,2.間接證明 反證法:假設(shè)原命題 不成立 (即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出 矛盾 ,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫反證法. 反證法證明問(wèn)題的一般步驟: ①反設(shè):假設(shè)要證的結(jié)論不成立,而設(shè)結(jié)論的反面成立.(否定結(jié)論) ②歸謬:將“反設(shè)”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理,導(dǎo)出矛盾.(推導(dǎo)矛盾) ③立論:既然原命題的結(jié)論的反面不成立,從而肯定了原命題成立.(命題成立) 三、數(shù)學(xué)歸納法 1.數(shù)學(xué)歸納法的定義 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是事 物的全體還是部分,可分為 完全 歸納法和 不完全 歸納法. 2.數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟 (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n=n0(n0∈N*)時(shí),命題成立. (2)(歸納遞推)假設(shè) n=k (k≥n0,k∈N*)時(shí),命題成立,證明當(dāng) n=k+1 時(shí),命題也成立.,只要完成以上兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立. 【知識(shí)拓展】 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1.數(shù)學(xué)歸納法與遞推思想 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩 個(gè)步驟缺一不可,否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤. 2.如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟,要做到“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明 莫忘掉”.因此必須注意以下兩點(diǎn): (1)驗(yàn)證是基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法的原理表明:第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0,這個(gè)數(shù)n0就是要證明的命題對(duì)象的最小自 然數(shù),這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”. (2)遞推是關(guān)鍵 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,所以從“k”到“k+1”的過(guò)程中,必須把“n=k”時(shí)的歸納假設(shè)作為 條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)的命題,在推導(dǎo)過(guò)程中,歸納假設(shè)要用一次或幾次.,歸納推理的一般步驟: 例1 (2015廣東湛江一模,10,5分)由正整點(diǎn)坐標(biāo)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是正整數(shù))表示的一組平面 向量ai(i=1,2,3,…,n,…)按照一定的順序排成如圖所示的三角形向量序列圖.規(guī)則:?n∈N*,第n行 共有(2n-1)個(gè)向量,若第n行第k個(gè)向量為am,則am= 例如a1=(1,1),a2=(1,2),a3= (2,2),a4=(2,1),……,依此類推,則a2 015= ( ),突破方法,方法1 歸納推理,A.(44,11) B.(44,10) C.(45,11) D.(45,10) 解析 ∵第n行共有(2n-1)個(gè)向量, ∴前n行共有1+3+5+…+(2n-1)= =n2個(gè)向量, ∵4422 015452,且442=1 936, ∴a2 015是第45行第79個(gè)向量, ∴a2 015=(45,11).故選C. 答案 C 1-1 (2016湖北黃岡一模,11,5分)觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的 不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,……,則|x|+|y|=20的不同整數(shù) 解(x,y)的個(gè)數(shù)為 ( ) A.76 B.80 C.86 D.92 答案 B 解析 由已知條件,得|x|+|y|=n(n∈N+)的整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的 個(gè)數(shù)為80.故選B.,1-2 (2016湖北羅田一模,14,5分)觀察下列等式: (1+1)=21; (2+1)(2+2)=2213; (3+1)(3+2)(3+3)=23135; …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為 . 答案 (n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n135…(2n-1) 解析 考查規(guī)律的觀察、概況能力,注意項(xiàng)數(shù)、開(kāi)始值和結(jié)束值.第n個(gè)等式可為:(n+1)(n+2)(n+ 3)…(n+n)=2n135…(2n-1).,類比推理的一般步驟: 例2 (2014江西南昌3月模擬,12,5分)在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2,則它們的面積 比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2,則它們的體積比為 . 解析 ∵兩個(gè)正三角形是相似三角形,∴它們的面積比是相似比的平方.同理,兩個(gè)正四面體是 兩個(gè)相似幾何體,體積比是相似比的立方,∴它們的體積比為1∶8. 答案 1∶8 2-1 (2016貴州都勻二模,10,5分)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的 ,把這個(gè)結(jié)論推廣到空 間正四面體,類似的結(jié)論是 ( ) A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的,方法2 類比推理,C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 答案 C 解析 原問(wèn)題的解法為等面積法,即S= ah=3 ar?r= h,類比問(wèn)題的解法應(yīng)為等體積法,V= Sh=4 Sr?r= h,即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 ,故選C.,應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有下面幾個(gè)步驟: 第一步:分清命題“p?q”的條件和結(jié)論; 第二步:作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)q; 第三步:由p和q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果; 第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開(kāi)始所作的假設(shè)q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證 明了命題p?q為真. 所說(shuō)的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾,與臨 時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果. 例3 (2012江蘇,20,16分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1= ,n∈N*. (1)設(shè)bn+1=1+ ,n∈N*,求證:數(shù)列 是等差數(shù)列; (2)設(shè)bn+1= ,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.,方法3 間接證明,解題導(dǎo)引 (1)an+1變形 = 兩邊平方 可證結(jié)論 (2)基本 不等式 10,bn0,所以 ≤ + (an+bn)2,,從而10知q0.下證q=1. 若q1,則a1= logq 時(shí),an+1=a1qn ,與(*)矛盾; (8分) 若0a21,故當(dāng)nlogq 時(shí),an+1=a1qn1,于是b1b2b3. 又由a1= 得bn= , 所以b1,b2,b3中至少有兩項(xiàng)相同,矛盾. (14分),所以a1= ,從而bn= = . 所以a1=b1= . (16分) 3-1 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn; (2)設(shè)bn= (n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. 解析 (1)由已知得 ∴d=2,故an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ). (2)證明:由(1)得bn= =n+ . 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列,則 =bpbr,即(q+ )2=(p+ ) (r+ ), ∴(q2-pr)+(2q-p-r) =0.∵p,q,r∈N*,∴,∴ =pr,(p-r)2=0,∴p=r,與p≠r矛盾.∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.,由k到k+1的證明中尋找由k到k+1的變化規(guī)律是難點(diǎn),突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的證 明方法.在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等方法, 或從P(k)出發(fā)拼湊P(k+1),或從P(k+1)中分離出P(k),再進(jìn)行局部調(diào)整;也可考慮尋求二者的“結(jié) 合點(diǎn)”,以便順利過(guò)渡,切實(shí)掌握“觀察——?dú)w納——猜想——證明”這一特殊到一般的推理方 法. 例4 (2014大綱全國(guó),22,12分)函數(shù)f(x)=ln(x+1)- (a1). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)設(shè)a1=1,an+1=ln(an+1),證明: 0, f(x)在(-1,a2-2a)上是增函數(shù); 若x∈(a2-2a,0),則f (x)0, f(x)在(a2-2a,0)上是減函數(shù);,方法4 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,若x∈(0,+∞),則f (x)0, f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). (4分) (ii)當(dāng)a=2時(shí), f (x)≥0, f (x)=0成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0, f(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù). (iii)當(dāng)a2時(shí),若x∈(-1,0),則f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函數(shù); 若x∈(0,a2-2a),則f (x)0, f(x)在(a2-2a,+∞)上是增函數(shù). (6分) (2)由(1)知,當(dāng)a=2時(shí), f(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù). 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), f(x)f(0)=0,即ln(x+1) (x0). 又由(1)知,當(dāng)a=3時(shí), f(x)在[0,3)上是減函數(shù). 當(dāng)x∈(0,3)時(shí), f(x)f(0)=0,即ln(x+1) (0x3). (9分) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 an≤ . (i)當(dāng)n=1時(shí),由已知 a1=1,故結(jié)論成立; (ii)設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即 ak≤ .,+ ,所以f1 =- , f2 =- + . 故2f1 + f2 =-1. (2)證明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得f0(x)+xf 0(x)=cos x, 即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin ,類似可得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π), 3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin , 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 對(duì)所有的n∈N*都成立. (i)當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立. (ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin . 因?yàn)閇kfk-1(x)+xfk(x)]=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), =cos =,sin , 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin . 因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 綜合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 對(duì)所有的n∈N*都成立. 令x= ,可得nfn-1 + fn =sin (n∈N*). 所以 = (n∈N*).,