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,第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉化,一、定義,n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-----特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特點,未知函數(shù)與其各階導數(shù)的線性組合等于0,即函數(shù)和其各階導數(shù)只相差常數(shù)因子,猜想,有特解,由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是 微分方程的解?,有兩個不相等的實根,特征根為,兩個線性無關的特解,得齊次方程的通解為,1. 當,2. 當,時, 特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,,,3. 當,時, 特征方程有一對共軛復根,這時原方程有兩個復數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:,因此原方程的通解為,小結:,特征方程:,實根,以上結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,,,若特征方程含 k 重復根,若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項,則其通解中必含,對應項,特征方程:,推廣:,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,,,,例3.,,,解:,由第七節(jié)例1 (P293) 知, 位移滿足,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,,在無外力作用下做自由運動,,初始,求物體的運動規(guī)律,立坐標系如圖,,設 t = 0 時物體的位置為,取其平衡位置為原點建,因此定解問題為,,自由振動方程 ,,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 ),解的特征:,,,簡諧振動,A: 振幅,,? : 初相,,周期:,固有頻率,(僅由系統(tǒng)特性確定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,這時需分如下三種情況進行討論:,2) 有阻尼自由振動情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,,,,( n k ),小阻尼自由振動解的特征 :,,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運動周期:,振幅:,衰減很快,,隨時間 t 的增大物體 趨于平衡位置.,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 無振蕩現(xiàn)象;,此圖參數(shù):,2) 對任何初始條件,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,( n = k ),臨界阻尼解的特征 :,任意常數(shù)由初始條件定,,最多只與 t 軸交于一點;,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無振蕩現(xiàn)象 ;,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,例6.,解: 特征方程:,即,其根為,方程通解 :,例7.,解: 特征方程:,特征根為,則方程通解 :,,作業(yè)：P- 340習題7-7 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,