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第8講,數學歸納法,1．掌握“歸納—猜想—證明”這一基本思路． 2．了解數學歸納法的基本原理．,3．能利用數學歸納法證明與自然數有關的命題．,1．運用數學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基 (或遞推基礎)，第二步是歸納遞推(或歸納假設)，兩步缺一不可． 2．用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題， 其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、整除性問題、幾何 問題等．,條時，第一步檢驗第一個值 n0 等于(,),A．1,B．2,C．3,D．4,且 n1)時，在第二步證明從 n＝k 到 n＝k＋1 成立時，左邊增加,的項數是(,),A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1,C,A,3.凸 n 邊形有 f(n)條對角線，則凸 n＋1 邊形有對角線數 f(n,＋1)為(,),C,5,A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1,B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2,4．若不等式 2nn2＋1對于n≥n0的正整數 n 都成立，則 n0 的最小值為_______.,考點1,對數學歸納法的兩個步驟的認識,上述證法(,),A．過程全都正確 B．n＝1 驗得不正確 C．歸納假設不正確 D．從 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正確 解析：上述證明過程中，在由n＝k 變化到n＝k＋1 時，不 等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設．故選 D. 答案：D,答案：B,【規(guī)律方法】用數學歸納法證明時，要注意觀察下列幾個 方面：①n 的范圍以及遞推的起點；②觀察首末兩項的次數(或 其他)，確定n＝k 時命題的形式f(k)；③從f(k＋1)和f(k)的差異， 尋找由k 到 k＋1 遞推中，左邊要加(或乘)的式子.,,【互動探究】,1．用數學歸納法證明 1＋a＋a2＋…＋an＝,1－an＋1 (a≠1， 1－a,n∈N*)時，在驗證 n＝1 時，左邊計算所得的式子是(,),B,A．1 C．1＋a＋a2,B．1＋a D．1＋a＋a2＋a4,解析：n＝1 時，左邊的最高次數為1，即最后一項為a， 左邊是 1＋a.,,,,＋, —的,2．用數學歸納法證明不等式,1 1 n＋1 n＋2,＋…＋,1 13 n＋n 24,過 程中 ， 由 k 推 導到 k ＋ 1 時 ，不等式左 邊增加 的 式子 是,.,,答案：,n(n＋1) ＝,(an2＋bn＋c)對一切正整數 n 都成立？證明你,考點2,用數學歸納法證明恒等式命題,例2：是否存在常數 a，b，c，使等式 122＋232＋…＋,2,n(n＋1) 12,的結論． 思維點撥：從特殊入手，探求a，b，c 的值，考慮到有 3 個未知數，先取 n＝1,2,3，列方程組求得，然后用數學歸納法 對一切 n∈N*，等式都成立．,,(3n2＋11n,a＋b＋c＝24， 解：把 n＝1,2,3 代入得方程組 4a＋2b＋c＝44， 9a＋3b＋c＝70， a＝3， 解得 b＝11， c＝10.,猜想：等式122＋232＋…＋n(n＋1)2＝,n(n＋1) 12,＋10)對一切 n∈N*都成立．,,,,,(3k2＋11k＋10)，,下面用數學歸納法證明： (1)當 n＝1 時，由上面可知等式成立． (2)假設 n＝k 時等式成立， 即 122＋232＋…＋k(k＋1)2,＝,k(k＋1) 12,,,,,k(k＋1),k(k＋1),則122＋232＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2,＝,12,(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2,＝,12,(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2,＝,(k＋1)(k＋2) 12,[k(3k＋5)＋12(k＋2)],＝,(k＋1)(k＋2) 12,[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．,∴當 n＝k＋1 時，等式也成立． 綜合(1)(2)，對n∈N*等式都成立．,【規(guī)律方法】這是一個探索性命題，“歸納—猜想—證明” 是一個完整的發(fā)現問題和解決問題的思維模式.對于探索命題 特別有效，要求善于發(fā)現規(guī)律，敢于提出更一般的結論，最后 進行嚴密的論證.從特殊入手，探求a，b，c 的值，考慮到有3 個未知數，先取n＝1，2，3，列方程組求得，然后用數學歸納 法對一切n∈N*，等式都成立.,,,,,,＝,＝ ，,＝ ，左邊＝右邊，所以等式成立．,【互動探究】,3．用數學歸納法證明：當 n∈N*時，,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 n (2n－1)(2n＋1) 2n＋1,.,證明：(1)當n＝1 時，左邊＝,1 1 13 3,右邊＝,1 21＋1,1 3,,,,,,,,,,,,,,,,,＋,k＋1 k＋1,(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即有,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 (2k－1)(2k＋1),＝,k 2k＋1,，,則當 n＝k＋1 時，,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 (2k－1)(2k＋1),＋,1 (2k＋1)(2k＋3),＝,k 1 2k＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,k(2k＋3)＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,2k2＋3k＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,＝ 2k＋3 2(k＋1)＋1,，,所以當 n＝k＋1 時，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立．,考點3 用數學歸納法證明整除性命題,例3：試證：當n 為正整數時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被 64,整除．,證明：方法一：(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64， 命題顯然成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時， f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)， 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， ∴n＝k＋1時命題也成立． 根據(1)(2)可知，對任意的n∈N*，命題都成立．,方法二：(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 由歸納假設，設32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的自然數)，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中， 得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)， ∴當n＝k＋1時命題成立． 根據(1)(2)可知，?n∈N*，命題都成立．,【互動探究】,4．求證：二項式 x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除．,證明：(1)當n＝1時， x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，x2k－y2k能被x＋y整除，那么當n＝k＋1時， x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－y2y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 顯然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即當n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)知，對任意的正整數n命題均成立．,,●難點突破●,⊙數學歸納法的應用,例題：(2014年廣東)設數列{an}的前n和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求數列{an}的通項公式．,,則Sk＝3＋5＋7＋(2k＋1)＝,3＋(2k＋1) 2,k＝k(k＋2)．,解：S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 綜上所述，a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1， ①當n＝1時，結論顯然成立； ②假設當n＝k(k≥1)時，ak＝2k＋1，,又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k.解得ak＋1＝2k＋3. ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即當n＝k＋1時，結論成立． 由①②知，?n∈N*，an＝2n＋1. 【規(guī)律方法】猜想an＝2n＋1；根據猜想求出Sk；再利用Sk＝2kak＋1－3k2－4k求出ak＋1；驗證ak＋1也滿足猜想，得出結論.,