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第四章 4.1 圓的方程,4.1.2 圓的一般方程,,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由一般式求圓心和半徑. 2.會(huì)在不同條件下求圓的一般方程.,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 圓的一般方程的定義 1.當(dāng) 時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程， 其圓心為 ，半徑為 . 2.當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點(diǎn) . 3.當(dāng) 時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形. 思考 若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示圓，需滿(mǎn)足什么條件？,,答案,D2＋E2－4F0,D2＋E2－4F0,答 ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.,知識(shí)點(diǎn)二 由圓的一般方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知點(diǎn)M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0).則其位置關(guān)系如下表：,,答案,返回,內(nèi),外,上,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 圓的一般方程的定義 例1 判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑長(zhǎng).,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 方法一 由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝20m－20， 故D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，當(dāng)m＝2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；,方法二 原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2. 因此，當(dāng)m＝2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)m≠2時(shí)，原方程表示圓.,,對(duì)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)有如下兩種方法： (1)由圓的一般方程的定義判斷D2＋E2－4F是否為正.若D2＋E2－4F＞0，則方程表示圓，否則不表示圓. (2)將方程配方變?yōu)椤皹?biāo)準(zhǔn)”形式后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，觀察是否可以表示圓.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的范圍是 __________.,解析 由題意可知(－2)2＋12－4k0，,,解析答案,題型二 求圓的一般方程 例2 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、圓心坐標(biāo)和外接圓半徑.,反思與感悟,,解析答案,解 方法一 設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圓上，,反思與感悟,∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.,,方法二 設(shè)△ABC的外接圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵A、B、C在圓上，,反思與感悟,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25， 展開(kāi)易得其一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.,解析答案,,∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A為直角的直角三角形. ∴圓心是線段BC的中點(diǎn)，,反思與感悟,∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 展開(kāi)得一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.,反思與感悟,,應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)： (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r. (2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.,,解析答案,,,解析答案,,,解析答案,題型三 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 例3 已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.,反思與感悟,,解析答案,解 方法一 設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線， 所以x≠3，且x≠－1.,所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 方法二 同方法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 方法三 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D(1，0).,由圓的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長(zhǎng)的圓(因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)). 設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).,反思與感悟,,求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題常用的方法. (1)直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系式. (2)定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (3)相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動(dòng)點(diǎn) Q(x1，y1)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.,,解析答案,化簡(jiǎn)，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.,,代入法求圓的方程,解題方法,,例4 已知定圓的方程為(x＋1)2＋y2＝4，點(diǎn)A(1，0)為定圓上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C為定圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為動(dòng)弦AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.,解析答案,解后反思,,分析 由于點(diǎn)M依賴(lài)于動(dòng)點(diǎn)C，且動(dòng)點(diǎn)C在圓上，故只要找到點(diǎn)M與點(diǎn)C的坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)C的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程，即可求得點(diǎn)M的軌跡方程. 解 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，,解析答案,解后反思,因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)A不重合，所以x0≠1，即x≠1.,,解后反思,又因?yàn)辄c(diǎn)C(x0，y0)在圓(x＋1)2＋y2＝4上，,將①代入②，得(2x－1＋1)2＋(2y)2＝4(x≠1)， 即x2＋y2＝1(x≠1). 因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝1(x≠1).,解后反思,,對(duì)于“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題，若已知一動(dòng)點(diǎn)在某條曲線上運(yùn)動(dòng)而求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，則通常采用本例的方法，這種求軌跡方程的方法叫做代入法.,,解析答案,解后反思,例5 已知圓的方程為x2＋y2－2x＝0，點(diǎn)P(x，y)在圓上運(yùn)動(dòng)，求2x2＋y2的最值.,返回,,忽略有關(guān)圓的范圍求最值致誤,易錯(cuò)點(diǎn),,分析 由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0，求得x的范圍.而點(diǎn)P(x，y)在圓上，則可將2x2＋y2轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，就變成了在給定區(qū)間上求二次函數(shù)的最值問(wèn)題. 解 由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0. 所以0≤x≤2. 又因?yàn)?x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 所以0≤2x2＋y2≤8. 所以當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，2x2＋y2有最小值0， 當(dāng)x＝2，y＝0時(shí)，2x2＋y2有最大值8. 故2x2＋y2有最小值0，最大值8.,解后反思,,解后反思,在解答過(guò)程中易忽略隱含條件y2＝－x2＋2x≥0，即0≤x≤2，從而放大了x的范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤.因此在解題時(shí)一定要仔細(xì)審題，明確題目中的已知條件和待求的問(wèn)題，否則會(huì)忽略隱含條件而使范圍變大或縮小.,,返回,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是( ) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3) D.(2，－3),∴圓心坐標(biāo)是(2，－3).,D,,解析答案,2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,,解析答案,3.M(3，0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦所在的直線方程是( ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0,B,解析 過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦應(yīng)為過(guò)點(diǎn)M的直徑所在的直線.,,解析答案,4.圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,,解析答案,5.圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為_(kāi)____.,解析 因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，,,課堂小結(jié),1.圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，來(lái)源于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在應(yīng)用時(shí)，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件. 2.圓的方程可用待定系數(shù)法來(lái)確定，在設(shè)方程時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)出恰當(dāng)?shù)姆匠?，以便?jiǎn)化解題過(guò)程. 3.對(duì)于曲線的軌跡問(wèn)題，要作簡(jiǎn)單的了解，能夠求出簡(jiǎn)單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟.,,返回,