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第五章,數(shù)列、推理與證明,第 1 講,數(shù)列的概念與簡單表示法,1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、,通項公式)．,2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．,1．數(shù)列的定義,按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個 數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列可以看作是定義域為 N*的非空子集 的函數(shù)，其圖象是一群孤立的點．,2．數(shù)列的分類,無限,,3. 數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 4．數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第 n 項 an 與序號 n 之間的關(guān)系可以用一個 公式 an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．,5．Sn 與 an 的關(guān)系,an＋1,an－1,B,B,D,4．如圖 5-1-1 所示的是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷 磚鋪設的若干圖案．若按此規(guī)律鋪設，則第 n 個圖案中需用黑,),D,色瓷磚的塊數(shù)為(用含 n 的代數(shù)式表示)( 圖 5-1-1 A．4n B．4n＋1 C．4n－3 D．4n＋8,考點 1,由數(shù)列的前幾項寫數(shù)列的通項公式,例 1：分別寫出下列數(shù)列的一個通項公式，數(shù)列的前 4 項 已給出．,【規(guī)律方法】對于一個公式能否成為一個給出的前 n 項的,數(shù)列的通項公式，需逐項加以驗證，缺一不可．,根據(jù)數(shù)列{an}的前 n 項求通項公式，我們常常取其形式上 較簡便的一個即可．另外，求通項公式，一般可通過觀察數(shù)列 中各項的特點，進行分析、概括，然后得出結(jié)論，必要時可加 以驗證．,已知數(shù)列的前幾項求通項公式，主要從以下幾個方面來考,慮：,①負號用(－1)n 與(－1)n＋1[或(－1)n－1]來調(diào)節(jié)；,②分數(shù)形式的數(shù)列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、分母的關(guān)系； ③相鄰項的變化特征； ④拆項后的特征；,⑤對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列，等比數(shù),列(后面專門學習)和其他方法解決；,⑥此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察 (觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為等差 或等比數(shù)列)等方法．,【互動探究】 1．已知數(shù)列{an}的前 4 項分別為 1,0,1,0，則下列各式可作,為數(shù)列{an}的通項公式的個數(shù)有(,),A．1 個,B．2 個,C．3 個,D．4 個,解析：由三角函數(shù)公式知，②和③實質(zhì)上是一樣的，不難 驗證，它們是已知數(shù)列 1,0,1,0 的通項公式；對于④，易看出， 它不是數(shù)列{an}的通項公式；對于⑤，將 n＝3 代入，a3＝3≠1， 故⑤不是{an}的通項公式；①顯然是數(shù)列{an}的通項公式．綜上 所述，可作為數(shù)列{an}的通項公式有 3 個．故選 C.,答案：C,2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，,如圖 5-1-2.,圖 5-1-2,他們研究過圖 5-1-2(1)中的 1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠 表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖 5-1-2(2)中的 1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又,),是正方形數(shù)的是( A．289 C．1225,B．1024 D．1378,C,考點2,由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式,例 2：已知數(shù)列{an}滿足 an＋1＝2an＋1，n∈N*. (1)若 a1＝－1，寫出此數(shù)列的前 4 項，并推測該數(shù)列的通 項公式； (2)若 a1＝1，寫出此數(shù)列的前 4 項，并推測該數(shù)列的通項 公式．,(2)方法一：a1＝1，a2＝21＋1＝3，a3＝23＋1＝7， a4＝27＋1＝15，,可推測該數(shù)列{an}的通項公式為 an＝2n－1.,方法二：由an＋1＝2an＋1?an＋1＋1＝2(an＋1)?an＋1＋1=(a1,＋1)2n－1?an＋1＝2n－1.,解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推測該數(shù)列{an}的通項公式為 an＝－1.,【規(guī)律方法】數(shù)列的遞推公式是由遞推關(guān)系式(遞推)和首 項(基礎)兩個因素所確定的，即使遞推關(guān)系完全一樣，而首項 不同就可得到兩個不同的數(shù)列；適當配湊是本題進行歸納的前 提，從整體把握是現(xiàn)代數(shù)學的重要手段，加強類比是探索某些 規(guī)律的常用方法之一.,【互動探究】,考點3,利用an 與 Sn 的關(guān)系求數(shù)列的通項公式,例3：已知數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，按照下列條件求數(shù)列 的通項公式． (1)若 Sn＝2n2－n，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若 Sn＝n2＋n＋1，求數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)當 n＝1 時，a1＝S1＝1， 當 n≥2 時，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3. 經(jīng)檢驗，當 n＝1 時，a1＝1 也適合 an＝4n－3. ∴數(shù)列{an}的通項公式是 an＝4n－3.,【規(guī)律方法】已知 an 求 Sn 的方法多種多樣，但已知 Sn 求 an 的方法卻是高度統(tǒng)一，化簡關(guān)系式用 Sn 表示出 an 是關(guān)鍵． 當 n≥2 時，若由 an＝Sn－Sn－1 求出的 an 對 n＝1 也成立， 則 an＝Sn－Sn－1，否則就分段表示．,【互動探究】 4．設數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn＝2(an－1)，則 a3＝,(,A,) A．8 C．2,B．4 D．1,解析：由 S1＝2(a1－1)＝a1，得 a1＝2.由 S2＝2(a2－1)，得 a2＝4.由 S3＝2(a3－1)，得 a3＝8.,●思想與方法●,⊙用函數(shù)的思想探討數(shù)列的單調(diào)性,例題：已知單調(diào)遞增數(shù)列{an}，an＝n2－kn(n∈N*)，求實數(shù),k 的取值范圍．,解：∵an＝n2－kn(n∈N*)，,∴an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k. ∵數(shù)列{an}單調(diào)遞增，,∴an＋1－an0，即 2n＋1－k0 恒成立． ∴k2n＋1，即 k3.,,【規(guī)律方法】函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有 區(qū)別，若數(shù)列所對應的函數(shù)單調(diào)，則數(shù)列一定單調(diào)；反之，若 數(shù)列單調(diào)，則其所對應的函數(shù)不一定單調(diào)．因為數(shù)列是定義域 為正整數(shù)集的特殊函數(shù)，所以數(shù)列的單調(diào)性一般要通過比較an+1,與an 的大小來判斷．若an＋1an，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1,an，則數(shù)列為遞減數(shù)列．解本題易出現(xiàn)的錯誤是,an 是關(guān)于n,的二次函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集，若數(shù)列{an}遞增，則必有,k 2,≤1，故k≤2.,