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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3.1《幾何概型》教案 新人教B版必修3 教學(xué)目標(biāo) 1．知識目標(biāo) ①通過探究，讓學(xué)生理解幾何概型試驗(yàn)的基本特征，并與古典概型相區(qū)別； ②理解并掌握幾何概型的定義； ③會求簡單的幾何概型試驗(yàn)的概率. 2．情感目標(biāo) ①讓學(xué)生了解幾何概型的意義，加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象； ②通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會生活和學(xué)習(xí)中與幾何概型有關(guān)的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力；同時，適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：幾何概型概念的理解和公式的運(yùn)用； 難點(diǎn)：幾何概型的應(yīng)用. 只有掌握了幾何概型的概念及特點(diǎn)，才能夠判斷一個問題是否是幾何概型，才能夠用幾何概型的概率公式去解決這個問題.而在應(yīng)用公式的過程中，幾何度量的正確選取是難點(diǎn)之一，要好好把握. 學(xué)情分析及教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課是新教材人教B版必修3第三章第三節(jié)的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應(yīng)用之前.我認(rèn)為教材這樣安排的目的，一是為了體現(xiàn)和古典概型的區(qū)別和聯(lián)系，在比較中鞏固這兩種概型；二是為解決實(shí)際問題提供一種簡單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用. 通過最近幾年的實(shí)際授課發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無限性”誤認(rèn)為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，研究問題時過于“想當(dāng)然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認(rèn)為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面. 另外，在解決幾何概型的問題時，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實(shí)際授課時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出適當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題. 為了更好地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我將整個教學(xué)過程分為“問題引入——概念形成——探索歸納——鞏固深化”四個環(huán)節(jié). 教學(xué)過程 1．問題引入 引例1 北京奧運(yùn)會圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產(chǎn)的福娃玩具，擴(kuò)大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點(diǎn)數(shù)之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固古典概型的特點(diǎn)及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊. 引例2 廠商為了增強(qiáng)活動的趣味性，改變了活動方式，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖1）轉(zhuǎn)盤被等分成8個扇形區(qū)域.顧客隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針正好指向陰影區(qū)域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖： 1．以實(shí)際問題引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過具體問題情境引入課題； 3．簡單直觀，符合學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知規(guī)律. 問題提出后，學(xué)生根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)很容易回答：“由面積比計(jì)算出概率為1/4.” 提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據(jù)嗎？ 學(xué)生思考，回答：“上一節(jié)剛學(xué)習(xí)的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件數(shù)占試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的比例來解決的，所以聯(lián)想到用面積的比例來解決.” 教師繼續(xù)提問：這個問題是古典概型嗎？ 通過提問，引導(dǎo)學(xué)生回顧古典概型的特點(diǎn)：有限性和等可能性.發(fā)現(xiàn)這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應(yīng)該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區(qū)域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這個特點(diǎn)，因此不是古典概型. 也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據(jù)去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念. 2．概念形成 記引例2中的事件為“指針指向陰影區(qū)域”，通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)事件包含的基本事件有無數(shù)個，而試驗(yàn)的基本事件總數(shù)也是無數(shù)個.如果我們仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件個數(shù)與試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的比例來解決這個問題，那樣就會出現(xiàn)“無數(shù)比無數(shù)”的情況，沒有辦法求解. 因此，我們需要一個量，來度量事件和，使這個比例式可以操作，這個量就稱為“幾何度量”.這就得到了幾何概型的概率公式，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示子區(qū)域的幾何度量. 引例2就可以選取面積做幾何度量來解決. 通過上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗(yàn)結(jié)果不是有限個，但是它的試驗(yàn)結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻地分布，因此它滿足無限性和等可能性的特征.其求解思路與古典概型相似，都屬于“比例解法”. 3. 探索歸納 問題1 在500ml水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率. 問題2 取一根長為4米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不少于1米的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖： 1．讓學(xué)生分別體會用體積、長度之比來度量概率，加深學(xué)生對幾何概型概念的理解； 2．強(qiáng)化解決幾何概型問題的關(guān)鍵是抓住問題的實(shí)質(zhì)，找出臨界狀態(tài)。這是解決幾何概型問題的第一個關(guān)鍵. 問題3 如圖2, 設(shè)為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與連結(jié)，求弦長超過半徑的概率？ 由學(xué)生討論解答. 預(yù)期思路1：(見圖3) 根據(jù)題意，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)，有無限種可能，而每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣，滿足幾何概型的特點(diǎn)，可以考慮用幾何概型求解. 先找臨界狀態(tài)，即弦長等于半徑時所取的點(diǎn)的位置.找到兩個位置，使得和是兩個全等的正三角形.即在取點(diǎn)時弦長剛好等于半徑；而在和兩段劣弧上取點(diǎn)時弦長小于半徑；在這段優(yōu)弧上取點(diǎn)時，弦長超過半徑。因此問題轉(zhuǎn)化 為弧長之比. . 預(yù)期思路2：（見圖4）也可以轉(zhuǎn)化為角度之比. . 預(yù)期思路3：（見圖5）也可以轉(zhuǎn)化為面積之比. . 提出問題：為什么這道題可以用弧長、角度、面積等不同的幾何度量去求解？ 由學(xué)生分組討論,給出回答：因?yàn)樵诎霃揭恢碌那闆r下，弧長之比等于角度之比，也等于面積之比. . 設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對幾何概型的理解，從而抓住解決幾何概型問題的實(shí)質(zhì). 問題4 如圖6,將一個長與寬不等的長方形水平放置，長方形對角線將其分成四個區(qū)域.在四個區(qū)域內(nèi)涂上紅、藍(lán)、黃、白四種顏色，并在中間裝個指針，使其可以自由轉(zhuǎn)動.對于指針停留的可能性，下列說法正確的是（ ） A．一樣大 B. 黃、紅區(qū)域大 C. 藍(lán)、白區(qū)域大 D. 由指針轉(zhuǎn)動圈數(shù)確定 設(shè)計(jì)意圖：通過與引例2對比，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個問題選擇的正確幾何度量應(yīng)該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問題，是因?yàn)槠涿娣e比恰好等于角度比. 提出問題：如何才能找到最恰當(dāng)?shù)膸缀味攘磕兀? 引導(dǎo)學(xué)生找問題中的“提示”.如問題3中在圓周上任意取點(diǎn)，因此選取弧長作為幾何度量是最恰當(dāng)?shù)姆椒? 幾何度量的正確選擇是解決幾何概型問題的第二個關(guān)鍵. 4。鞏固深化 練習(xí)1 如圖7,在面積為的的邊上任取一點(diǎn)，求的面積小于的概率. 練習(xí)2 如圖8,向面積為的內(nèi)任投一點(diǎn)，求的面積小于的概率. 練習(xí)3 如圖9,向體積為的三棱錐內(nèi)任投一點(diǎn)，求三棱錐的體積小于的概率. 設(shè)計(jì)意圖：通過這3個問題的對比，加深學(xué)生對幾何度量選取的理解，關(guān)鍵是判斷在何處取點(diǎn). 問題5 一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形(如圖10)，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率. 問題6 平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑為的硬幣任意擲在這平面上(如圖11)，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率． 設(shè)計(jì)意圖： 1．開拓學(xué)生的思路，進(jìn)一步提高學(xué)生分析、解決問題的能力； 2．引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決幾何概型問題的第三個關(guān)鍵：物化為點(diǎn). 如問題5 中，我們選擇了海豚的嘴尖為研究對象，問題6中，我們則選擇硬幣的中心為研究對象.物化為點(diǎn)之后，研究起來會更加便捷.在處理問題6時，先由學(xué)生自主思考，而后合作交流，發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學(xué)生概括歸納的能力。 5．課堂小結(jié) 這個工作我準(zhǔn)備交給學(xué)生去做。讓學(xué)生自己總結(jié)：這節(jié)課你學(xué)到了什么？通過這節(jié)課你掌握了哪些方法？應(yīng)該注意些什么問題？有哪些思想是在以后的學(xué)習(xí)中可以借鑒的等等，引導(dǎo)學(xué)生對這節(jié)課的內(nèi)容加以鞏固深化. 課后反思 本節(jié)課采用了類比的思維方式，讓學(xué)生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發(fā)式教學(xué)方式的引領(lǐng)下，以問題串的形式開啟學(xué)生思維之門。通過課后檢測，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)效果比較不錯. 我認(rèn)為本節(jié)課有以下五個方面做得比較成功. 1．通過具體的問題情境引入，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲. 2．通過與古典概型對比，產(chǎn)生矛盾，促使學(xué)生迫切想去探求解決問題的方法. 3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解. 4．問題設(shè)置層層遞進(jìn)，由淺入深，有層次、有目標(biāo)地解決各個難點(diǎn)，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律. 5．本節(jié)課中所體現(xiàn)的極限思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等將會對學(xué)生的思維發(fā)展有所幫助. 本節(jié)課的不足之處在于教師做的準(zhǔn)備工作太多，問題設(shè)置得過于緊密，使得學(xué)生發(fā)揮的空間不夠.如何設(shè)計(jì)問題才能使學(xué)生的思維更活躍，不僅能認(rèn)識問題、解決問題，還能創(chuàng)設(shè)問題？這也是我一直在思考的，還望各位同仁不吝賜教. 另外，經(jīng)典的“約會問題”本來是幾何概型能夠解決的問題中最有代表性的，但是由于其中涉及到的線性規(guī)劃知識要在必修五中才能夠?qū)W到，因此本節(jié)課沒有將其設(shè)計(jì)在內(nèi). 以上就是我對《幾何概型》這節(jié)課的設(shè)計(jì)，歡迎各位專家朋友批評指正，謝謝大家！ 2