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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（4）教案 新人教A版必修1 三維目標　　　　　 知識與技能： 1．通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件； 2．借助科學計算器，掌握運用二分法求滿足一定精確度要求的簡單方程近似解的方法． 過程與方法： 1．了解數(shù)學上的逼近思想、極限思想； 2．體驗二分法的算法思想，培養(yǎng)自主探究的能力，為學習算法做準備． 情感、態(tài)度與價值觀： 1．通過了解數(shù)學家的史料來提高數(shù)學素養(yǎng)，并增強學習數(shù)學的興趣； 2．體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一； 3．通過具體實例的探究，歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認知過程． 教學重點與難點　　 教學重點：二分法的基本思想的理解，運用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟和過程； 教學難點：精確度概念的理解及恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解． 教材分析　　　　　 本節(jié)課在學生應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想指導下學習了方程的根與對應函數(shù)零點之間的關(guān)系的基礎上，再介紹求函數(shù)零點的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求方程近似解步驟”中滲透算法的思想，為學生后續(xù)學習算法內(nèi)容做準備．教科書不僅希望學生在數(shù)學思想與運用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學生通過了解古今中外數(shù)學家求方程的解的史料來滲透數(shù)學文化，提高數(shù)學素養(yǎng)． 學情分析　　　　　 學生基礎較好，學生學習的主動性較強，所以通過一節(jié)課掌握用二分法求方程的近似解的方法，體驗二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的過程中，由于數(shù)值計算較為復雜，因此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學生具備恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問題的能力． 信息技術(shù)分析　　　 多媒體教室及幾何畫板4.06中文版、Visual Basic 6.0簡體中文版應用程序． 教學方法　　　　　 動手操作、分組討論、合作交流、課后實踐． 教學設計流程圖　　 ——由模仿中央電視臺節(jié)目“幸運52”中的猜價游戲?qū)胄抡n，提出二分法的思想 ↓ ——回顧例題，復習零點存在性定理，提出新問題：能不能求出零點《幾何畫板》演示 ↓ ——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解 ↓ ——總結(jié)出用二分法求方程近似解的步驟 ↓ ——學生借助科學計算器，用二分法求方程的近似解 ↓ ——介紹數(shù)學家求方程的近似解的歷史 ↓ ——利用Visual Basic編寫程序，滲透算法思想 教學設計理念　　　 1．倡導積極主動、勇于探索的學習方式． 2．鼓勵學生自主探究、合作交流． 3．注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合． 4．體現(xiàn)數(shù)學的文化價值． 教學情境設計　　　 一、創(chuàng)設情境，導入新課 問題情境：中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運52”，主持人李詠會給選手在限定時間內(nèi)猜某一物品的售價的機會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標．某次猜一種品牌的手機，價格在500～1 000元之間，選手開始報價：1 000元，主持人回答：高了；緊接著報價900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了． 設計意圖 1．創(chuàng)設學生熟悉的游戲情境，制造懸念，引發(fā)學生的學習興趣，并在教師的指導下設計猜價方案． 2．在學生設計猜價方案的基礎上，提出設計此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成． 師生活動： 師：表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分，實際中，游戲的報價過程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學思想，你能設計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎？請學生思考后，提問學生用你的猜價方案猜手機價格？ 生：猜價方案 　區(qū)間　　　　　中點(取整)　　　　高低 [500,1 000] 750 低了 [750,1 000] 875 高了 [750,875] 812 低了 [812,875] 843 低了 [843,875] 859 高了 [843,859] 851 ok 師：用幾何畫板配合學生演示猜價的過程后，提問此方案的設計思想(附圖一)． 生：關(guān)鍵是取區(qū)間的中點，不斷地縮小價格所在的區(qū)間． 師：此方法在數(shù)學上稱作“二分法”，并在黑板上板書，從而引入課題． 二、例題回顧 人教A版3.1.1節(jié)例1 求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點的個數(shù)？方程ln x＋2x－6＝0的實數(shù)解的個數(shù)？ 問題1：如何來確定函數(shù)零點的存在性，即方程的實數(shù)解的存在性？ 問題2：f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點，如何找出？ 設計意圖 通過例題回顧，引導學生將找方程的實數(shù)解與找對應函數(shù)的零點的問題等同起來，體會數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換． 師生活動： 師：借助幾何畫板直觀演示(附圖二)函數(shù)零點所在區(qū)間，并復習零點存在性定理后，讓學生思考問題2，提示學生回顧猜價方案的思想． 生：使用科學計算器進行計算，思考，交流思路． 師：提問學生． 生：1.取(2,3)的中點2.5，發(fā)現(xiàn)f(2.5)f(3)<0，所以零點在(2.5,3)內(nèi)． 2．以此類推，發(fā)現(xiàn)零點所在的區(qū)間在不斷縮?。? 三、合作探究 問題1：零點存在區(qū)間的大小能說明什么問題？ 問題2：你能夠總結(jié)出使零點存在的區(qū)間越來越小的規(guī)律嗎？ 問題3：當我們能夠?qū)⒘泓c所在的區(qū)間不斷地縮小時，怎樣確定零點的近似值？ 設計意圖 1．讓學生在教師的指導下學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，初步體會極限思想． 2．引導學生從具體的實例出發(fā)，總結(jié)出一般性的規(guī)律，符合學生的思維意識，并讓學生充分體會二分法思想． 3．引導學生將函數(shù)零點的近似值求出來，讓學生體會精確度的作用． 師生活動： 1．師：借助幾何畫板(附圖三)引導學生思考，并讓學生交流、討論． 生：零點存在區(qū)間越小，區(qū)間兩端點越接近該區(qū)間的實數(shù)解． 2．師：說明讓零點存在區(qū)間越來越小是解決問題的關(guān)鍵，請思考問題2. 生：分組交流． 生：經(jīng)合作整理，規(guī)律如下： 每次將區(qū)間二等分，留下區(qū)間端點函數(shù)值符號相反的區(qū)間． 師：實質(zhì)是根據(jù)什么定理？ 生：零點存在性定理． 3．師：順勢讓學生思考問題3后，指出給定精確度ε，只要將上述步驟進行有限次重復后即區(qū)間兩端點差的絕對值小于ε，則區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值． 幾何畫板直觀演示(附圖四)． 四、師生小結(jié) 你能說出二分法的意義及用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點近似值的步驟嗎？ 1．二分法的意義 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 2．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：幾何畫板分布演示(附圖五)． 設計意圖 引導學生小結(jié)二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟，培養(yǎng)學生從特殊到一般的思想，體驗解決問題的成就感． 師生活動： 師：闡述二分法的逼近原理，引導學生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點的具體步驟． 師：分析關(guān)鍵詞： f(a)f(b)<0、m＝、精確度ε、|a－b|<ε的意義． 生：結(jié)合求函數(shù)f(x)＝ln(x)＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點，理解二分法的算法思想與計算原理． 五、學以致用 問題1：實際生活中有沒有利用到二分法的思想方法的例子呢？試舉例． 問題2：借助計算器或計算機用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精確度0.1) 設計意圖 1．培養(yǎng)學生聯(lián)系實際的能力，讓學生體會數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系． 2．培養(yǎng)學生的動手能力，讓學生逐步掌握運用二分法求方程近似解的思想方法，并使學生的認識不斷加深． 師生活動： 1．師：讓學生討論，學生思考聯(lián)想實際生活，嘗試舉出運用二分法的例子． 生：電力工人檢測電線，找故障． 2．(1)學生利用科學計算器動手操作、進行小組交流，老師作課堂巡視指導． (2)師借助幾何畫板分布，直觀演示(附圖六)． 六、數(shù)學文化 閱讀本節(jié)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”． 設計意圖 讓學生感受數(shù)學文化方面的熏陶，增強數(shù)學素養(yǎng)． 七、知識遷移 問題：回憶用二分法求方程的近似解的步驟中，縮小零點所在的區(qū)間的步驟是否可以進行重復，如果給定精確度后重復的步驟是否是有限次的？ 設計意圖 初步介紹算法思想，為必修3的算法教學埋下伏筆． 師生活動： 師：如果一種計算方法對某一類問題都有效，計算可以一步一步地進行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法．它的優(yōu)點是一種通法，更大的優(yōu)點是，它可以讓計算機來實現(xiàn)．例如我們可以編寫用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一個函數(shù)的零點． 程序框圖及程序(附圖七) 八、課堂小結(jié) 問題：本節(jié)課學習了哪些知識、方法、思想？ 設計意圖 學生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將所學的知識條理化、系統(tǒng)化，使自己的認知結(jié)構(gòu)更趨合理．注重數(shù)學方法的提煉，可使學生逐漸把經(jīng)驗內(nèi)化為能力． 師生活動： 師：引導學生從知識、方法兩方面進行總結(jié)后板書： 1．要找方程的實數(shù)解可先利用函數(shù)的連續(xù)性判定方程實數(shù)解的存在性，再利用二分法求方程的近似解； 2．二分法的意義； 3．二分法求方程的近似解的步驟； 4．逼近、極限、二分法． 教學設計附圖： 區(qū)間　　　　　　中點(取整)　　　高低 [500,1 000] 750 低了 [750,1 000] 875 高了 [750,875] 812 低了 [812,875] 843 低了 [843,875] 859 高了 [843,859] 851 附圖一 附圖二 附圖三 附圖四 二次法求解方程近似解的基本步驟：(精確度ε) 1．利用計算或作圖的方法，確定初始區(qū)間[a，b]； 2．驗證f(a)f(b)<0； 3．求區(qū)間(a，b)的中點c＝； 4．計算f(c)： (1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； (2)若f(a)f(c)<0，則令b＝c〔此時零點X0∈(a，c)〕； (3)若f(c)f(b)<0，則令a＝c〔此時零點X0∈(c，b)〕； 5．判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點的近似值a(或b)；否則重復3～4. 附圖五 附圖六 附visual basic程序 Private Sub mand1_Click() Dim a As Single Dim b As Single Dim d As Single a＝InputBox(“a”，“區(qū)間左端點”) b＝InputBox(“b”，“區(qū)間右端點”) d＝InputBox(“d”，“精確度”) Text1.Text＝a Text2.Text＝b Text3.Text＝d fa＝2^a＋3] 1．創(chuàng)設有趣且適合學生認知的問題情境，調(diào)動課堂氣氛，提高學生的學習興趣，鼓勵每個學生動手、動口、動腦，積極參與數(shù)學的學習過程． 2．教學中以問題為主線，重視二分法概念的形成，培養(yǎng)學生的探究意識，增強學生的問題意識，提高發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力． 3．在整個教學過程中，教師注意發(fā)揮學生的主體性，給學生留下充分的時間與空間，讓學生分組交流、合作探究．在課堂上，學生不僅學會了有條理地表述自己的觀點，還學會了相互接納、互助與贊賞，并不斷對自己和別人的想法進行批判和反思．學生間的多向交流，可以使他們從多角度得出問題解決的途徑． 4．重視知識的形成過程，注重思維方法，注重探索方法，讓學生主動獲取知識，讓學生在學習過程中去體驗數(shù)學和經(jīng)歷數(shù)學．這樣才能體現(xiàn)“思想方法比知識更重要”這一新的教學價值觀． 5．在教學中適當介紹數(shù)學家的奮斗歷史，從而滲透數(shù)學文化，增強學生的數(shù)學素養(yǎng)． 不足之處 1．在分組交流，學生合作探究解決問題上顯得經(jīng)驗不足，不夠老到． 2．在使用《幾何畫板》演示教學內(nèi)容時，學生學習《幾何畫板》基本操作的實際水平與本節(jié)課知識運用所要求的水平不符．可以在課外花點時間讓學生學習數(shù)學常用的幾種軟件，從而提高學生的動手能力．