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第二節(jié) 直線與圓的位置關系,【知識梳理】 1.圓周角、圓心角、弦切角定理,一半,弧的度數(shù),相等,相等,圓周角,2.(1)性質(zhì): 定理1:圓的內(nèi)接四邊形的對角_____. 定理2:圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的___________. (2)判定: 定理:如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點_____. 推論:如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角,那么這個四邊形的 四個頂點共圓.,互補,內(nèi)角的對角,共圓,3.圓的切線的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的_____. 推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____. 推論2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____. (2)判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切 線.,半徑,切點,圓心,垂直,4.與圓有關的比例線段,相等,相等,切線長,切線長,兩條切線,【小題快練】 1.(2014天津高考)如圖,△ABC是圓的內(nèi)接三角形,∠BAC的平分線交圓于點D,交BC于點E,過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下,給出下列四個結(jié)論:①BD平分∠CBF;②FB2=FDFA; ③AECE=BEDE;④AFBD=ABBF. 則所有正確結(jié)論的序號是 ( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④,【解析】選D.由弦切角定理得∠FBD=∠EAC=∠BAE, 又∠BFD=∠AFB,所以△BFD∽△AFB, 所以 即AFBD=ABBF,排除A,C. 又∠FBD=∠EAC=∠DBC,排除B.,2.(2014湖北高考)如圖,P為☉O外一點,過P作☉O的兩條切線,切點分別為A,B,過PA的中點Q作割線交☉O于C,D兩點,若QC=1,CD=3,則PB= .,【解析】由切割線定理得QA2=QCQD=1(1+3)=4, 所以QA=2,PB=PA=4. 答案:4,3.(2014湖南高考)如圖,已知AB,BC是☉O的兩條弦,AO⊥BC,AB= , BC=2 ,則☉O的半徑等于 .,【解析】延長AO,作出直徑AD,連接BD,則AB垂直于BD,設BC,AD交于E, 因為AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,所以AE=1,由射影定理得AB2=AEAD, 3=2r,r= . 答案:,4.(2014陜西高考)如圖,△ABC中,BC=6,以BC為直徑的半圓分別交AB,AC于點E,F,若AC=2AE,則EF= .,【解析】由已知利用割線定理得:AEAB=AFAC, 又AC=2AE,得AB=2AF, 所以 且∠A=∠A得△AEF∽△ACB且相似比為1∶2,又 BC=6,所以EF=3. 答案:3,考點1 圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形 【典例1】(2015南陽模擬)已知:直線AB過圓心O,交☉O于A,B,直線AF交☉O于F(不與B重合),直線l與☉O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC,求證: (1)∠BAC=∠CAG. (2)AC2=AEAF.,【解題提示】(1)連接BC,根據(jù)AB為☉O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余,根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC,得到∠BAC與∠ACG互余,再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余,得到∠BAC=∠CAG. (2)連接CF,利用弦切角結(jié)合(1)的結(jié)論,可得∠GCF=∠ECB,再用外角進行等量代換,得到∠AFC=∠ACE,結(jié)合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE,從而得到AC是AE,AF的比例中項,從而得到AC2=AEAF.,【規(guī)范解答】(1)連接BC, 因為AB為☉O的直徑, 所以∠ACB=90?∠ECB+∠ACG=90. 因為GC與☉O相切于C, 所以∠ECB=∠BAC, 所以∠BAC+∠ACG=90. 又因為AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90, 所以∠BAC=∠CAG.,(2)連接CF.由(1)可知∠EAC=∠CAF, 因為GE與☉O相切于C, 所以∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB. 因為∠AFC=∠GCF+90,∠ACE=∠ECB+90, 所以∠AFC=∠ACE.因為∠FAC=∠CAE, 所以△FAC∽△CAE,所以 所以AC2=AEAF.,【規(guī)律方法】圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化 (1)圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (2)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化. (3)弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (4)圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化.,【變式訓練】(2015撫順模擬)如圖,PA,PB是圓O的兩條切線,A,B是 切點,C是劣弧AB(不包括端點)上一點,直線PC交圓O于另一點D,Q在弦 CD上,且∠DAQ=∠PBC,求證: (1) (2)△ADQ∽△DBQ.,【證明】(1)因為△PBC∽△PDB,所以 同理 又因 為PA=PB,所以 即 (2)連接AB,因為∠BAC=∠BDQ=∠PBC=∠DAQ,∠ABC=∠ADQ,所以△ABC ∽△ADQ,所以 故 又因為∠DAQ=∠PBC=∠BDQ, 所以△ADQ∽△DBQ.,【加固訓練】如圖,圓O的兩弦AB和CD交于點E,EF∥CB,EF交AD的延長線于點F.求證:△DEF∽△EAF.,【證明】因為EF∥CB,所以∠BCD=∠FED, 又∠BAD與∠BCD是 所對應的圓周角, 所以∠BAD=∠BCD,所以∠BAD=∠FED, 又∠EFD=∠EFD,所以△DEF∽△EAF.,考點2 圓的切線性質(zhì)與判定定理、弦切角定理 【典例2】(2014遼寧高考)如圖,EP交圓于E,C兩點,PD切圓于D,G為CE上一點且PG=PD,連接DG并延長交圓于點A,作弦AB垂直EP,垂足為F. (1)求證:AB為圓的直徑. (2)若AC=BD,求證:AB=ED.,【解題提示】(1)利用已知條件證明∠ADB=90,從而證明AB為圓的直徑. (2)設法證明ED也是直徑,即可證明AB=ED.,【規(guī)范解答】(1)因為PG=PD,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD為切線,所以∠PDA=∠DBA, 又由于∠EGA=∠PGD,所以∠EGA=∠DBA. 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD, 從而∠BDA=∠PFA, 由于AF⊥EP,所以∠PFA=90, 所以∠BDA=90,故AB為圓的直徑.,(2)連接BC,DC.由于AB為圓的直徑, 所以∠BDA=∠ACB=90. 在Rt△BDA,Rt△ACB中,AB=BA,BD=AC, 從而Rt△BDA≌Rt△ACB. 所以∠DAB=∠CBA.又因為∠DCB=∠DAB, 所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB. 由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,所以∠DCE=90, 所以ED為直徑,所以AB=ED.,【規(guī)律方法】與圓的切線有關的問題及處理方法 (1)證明直線是圓的切線的常用方法: ①若已知直線與圓有公共點,則需證明圓心與公共點的連線垂直于已知直線即可. ②若已知直線與圓沒有明確的公共點,則需證明圓心到直線的距離等于圓的半徑.,(2)求弦切角的問題往往轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角. (3)求切線長問題往往利用切線長定理和切割線定理. 提醒:利用弦切角定理時,一定要注意是弦切角與同弧上的圓周角相等.,【變式訓練】(2015張掖模擬)如圖,C點在圓O直徑BE的延長線上,CA切圓O于A點,∠ACB平分線CD交AE于點F,交AB于D點. (1)求∠ADF的度數(shù). (2)若AB=AC,求AC∶BC.,【解析】(1)因為AC為圓O的切線, 所以∠B=∠EAC, 又知CD是∠ACB的平分線,所以∠ACD=∠DCB, 所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD, 即∠ADF=∠AFD, 又因為BE為圓O的直徑,所以∠DAE=90, 所以∠ADF= (180-∠DAE)=45.,(2)因為∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, 所以△ACE∽△BCA,所以 又因為AB=AC,所以∠B=∠ACB=30, 所以在Rt△ABE中, =tan∠B=tan30= .,考點3 與圓有關的比例線段 【典例3】(2015濮陽模擬)如圖,☉O的直徑AB的延長線與弦CD的延 長線相交于點P,E為☉O上一點, DE交AB于點F. (1)證明:DFEF=OFFP. (2)當AB=2BP時,證明:OF=BF.,【解題提示】(1)證明△OFE∽△DFP后利用對應邊成比例求解. (2)利用相交弦定理化簡證明.,【規(guī)范解答】(1)連接OE.因為 所以∠AOE=∠CDE,所以∠EOF=∠PDF, 又∠EFO=∠PFD, 所以△OFE∽△DFP,所以 所以DFEF=OFFP.,(2)設BP=a,由AB=2BP,得AO=BO=BP=a, 由相交弦定理得:DFEF=AFBF, 所以AFBF=OFFP, 所以OF(a+BF)=(a+OF)BF, 所以OF=BF.,【規(guī)律方法】與圓有關的比例線段解題思路 (1)見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理. (2)見到圓的兩條割線就要想到割線定理. (3)見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.,【變式訓練】(2014新課標全國卷Ⅱ)如圖,P是☉O外一點,PA是切線,A為切點,割線PBC與☉O相交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點,AD的延長線交☉O于點E.證明: (1)BE=EC. (2)ADDE=2PB2.,【證明】(1)因為PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,△PAD為等腰三角形. 連接AB,則∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α. 因為∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE, 所以β+α=β+∠DBE,所以α=∠DBE, 即∠BCE=∠DBE,所以BE=EC.,(2)因為ADDE=BDDC, PA2=PBPC,PD=DC=PA, 所以PA2=PBPC=PB2PA,即PA=2PB, 所以BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA) =PBPA=PB2PB=2PB2.即ADDE=2PB2.,【加固訓練】如圖,AB,CD是圓的兩條平行弦,BE∥AC,BE交CD于E,交圓于F,過A點的切線交DC的延長線于P,PC=ED=1,PA=2. (1)求AC的長. (2)試比較BE與EF的長度關系.,【解析】(1)連接BC.因為過A點的切線交DC的延長線于P,所以PA2=PCPD, 因為PC=1,PA=2,所以PD=4. 又PC=ED=1,所以CE=2, 因為∠PAC=∠CBA,∠PCA=∠CAB, 所以△PAC∽△CBA,所以 所以AC2=PCAB=2,所以AC= .,(2)BE=AC= , 由相交弦定理可得CEED=BEEF. 因為CE=2,ED=1, 所以EF= ,所以EF=BE.,