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高考導航 函數與導數作為高中數學的核心內容，常常與其他知識結合起來，形成層次豐富的各類綜合題，高考對導數計算的要求貫穿于與導數有關的每一道題目之中，多涉及三次函數、指數函數、對數函數、正弦函數、余弦函數以及由這些函數復合而成的一些函數的求導問題；函數的單調性、極值、最值均是高考命題的重點內容，在填空、解答題中都有涉及，試題難度不大．運用導數解決實際問題是函數應用的延伸，利用導數求解函數的最值，解決實際生活中的優(yōu)化問題，在歷年高考函數應用題中都有體現．另外，在壓軸題中常考查導數與含參不等式、方程、解析幾何等方面的綜合應用等，且難度往往較大．,熱點一 利用導數解決函數的單調性問題 函數的單調性是函數在定義域內的局部性質，因此利用導數討論函數的單調性時，要先研究函數的定義域，再利用導數f′(x)在定義域內的符號來判斷函數的單調性．這類問題主要有兩種考查方式：(1)判斷函數f(x)的單調性或求單調區(qū)間．(2)利用函數的單調性或單調區(qū)間，求參數的范圍．,構建模板 求含參函數f(x)的單調區(qū)間的一般步驟 第一步：求函數f(x)的定義域(根據已知函數解析式確定)； 第二步：求函數f(x)的導數f′(x)； 第三步：根據f′(x)＝0的零點是否存在或零點的大小對參數分類討論； 第四步：求解(令f′(x)＞0或令f′(x)＜0)； 第五步：下結論．,探究提高 討論含參函數的單調性，大多數情況下歸結為對含有參數的不等式的解集的討論，注意根據對應方程解的大小進行分類討論．,【訓練1】 已知函數f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，求函數f(x)的單調區(qū)間．,探究提高 求解此類由函數單調性確定參數取值范圍問題的關鍵在于根據函數的符號變化確定參數所滿足的條件，函數在指定區(qū)間內不單調也就是導函數在指定區(qū)間內符號發(fā)生變化，此類問題的求解，一般是利用補集思想，先求函數在指定區(qū)間內單調時對應的參數取值范圍，然后求解補集，也可根據導函數圖象的特征列出對應的條件．,【訓練2】 已知函數f(x)＝exln x－aex(a≠0)． (1)若函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－ey－1＝0垂直，求實數a的值； (2)若函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調函數，求實數a的取值范圍．,熱點二 利用導數求解函數的極值、最值 用導數研究函數的極值或最值是高考命題的重要題型之一．對于此類問題的求解，首先，要理解函數極值的概念，需要清楚導數為零的點不一定是極值點，只有在該點兩側導數的符號相反，即函數在該點兩側的單調性相反時，該點才是函數的極值點；其次，要區(qū)分極值與最值，函數的極值是一個局部概念，而最值是某個區(qū)間的整體性概念．,【例3】 (2014南京外國語學校、金陵中學聯考)已知函數f(x)＝ax＋xln x的圖象在點x＝e(e為自然對數的底數)處的切線斜率為3. (1)求實數a的值； 解 (1)因為f(x)＝ax＋xln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1. 因為函數f(x)＝ax＋xln x的圖象在點x＝e處的切線斜率為3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.,探究提高 求解此類問題的關鍵在于正確理解最值的求解、判斷的方法，將其轉化為函數的單調性問題求解，對于由函數的極值求解含參問題要注意結合導函數圖象的性質進行分析，函數有極值點，則其導函數的圖象必須穿過x軸，而若導函數的圖象與x軸有公共點，則該函數不一定有極值點．,(1)當x＝1時，f(x)取得極值，求a 的值； (2)求f(x)在[0,1]上的最小值． 解 因為f′(x)＝x2－a， (1)當x＝1時，f(x)取得極值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1， 又當x∈(－1,1)時，f′(x)＜0； x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0， 所以f(x)在x＝1處取得極小值，即a＝1時符合題意．,熱點三 構造函數法求解不等式恒成立問題 函數與導數的試題，在每年的高考中屬于必考內容，一般為壓軸題，主要圍繞函數的單調性、極值、最值、不等式恒成立等問題展開，此類壓軸試題難度較大，對邏輯推理能力要求較強，不可小視．,【例4】 (2015南通模擬)已知函數f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)． (1)若a＝0，判斷函數f(x)的單調性； (2)若x＞1時，f(x)＜0恒成立，求a的取值范圍． 解 (1)若a＝0，則f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x， x∈(0,1)時，f′(x)＜0，f(x)為減函數； x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數．,(2)依題意知xln x－(x－1)(ax－a＋1)＜0在(1，＋∞)上恒成立． ①若a＝0，則f(x)＝xln x－x＋1， f′(x)＝ln x， x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0， ∴f(x)為增函數，∴f(x)＞f(1)＝0， 即f(x)＜0不成立， ∴a＝0不合題意．,探究提高 求解不等式恒成立時參數的取值范圍問題，一般常用分離參數的方法，但是如果分離參數后對應的函數不便于求解其最值，或者求解其函數最值繁瑣時，可采用直接構造函數的方法求解．,【訓練4】 (2014江蘇卷)已知函數f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對數的底數． (1)證明：f(x)是R上的偶函數； (2)若關于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實數m的取值范圍； (1)證明 因為對任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函數．,