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2019-2020年高三數(shù)學 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)示范教案（1）新人教A版 ●教學目標 1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì) 2.能通過雙曲線的標準方程確定雙曲線的頂點、實虛半軸、焦點、離心率、漸近線方程. ●教學重點 雙曲線的幾何性質(zhì) ●教學難點 雙曲線的漸近線 ●教學方法 學導式 ●教具準備 幻燈片、三角板 ●教學過程 I.復習回顧： 師：上一節(jié)，我們學習了雙曲線的標準方程，這一節(jié)，我們要根據(jù)它來研究雙曲線的幾何性質(zhì).同學們可以按照研究橢圓幾何性質(zhì)的方法和步驟，自己推出雙曲線的幾何性質(zhì)，然后與課文對照，所以，我們來回顧一下研究橢圓的幾何性質(zhì)的方法與步驟.（略） II.講授新課： 1.范圍： 雙曲線在不等式x≥a與x≤－a所表示的區(qū)域內(nèi). 2.對稱性： 雙曲線關于每個坐標軸和原點都對稱，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫雙曲線中心. 3.頂點： 雙曲線和它的對稱軸有兩個交點A1(－a,0)、A2(a,0)，它們叫做雙曲線的頂點. 線段A1A2叫雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長；線段B1B2叫雙曲線的虛軸，它的長等于2b, b叫做雙曲線的虛半軸長. 4.漸近線 ①我們把兩條直線y=叫做雙曲線的漸近線； ②從圖8—16可以看出，雙曲線的各支向外延伸時，與直線y=逐漸接近. ③“漸近”的證明： 先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進行證明.這一部分的方程可寫為y=>a). 設M(x,y)是它上面的點，N(x,y)是直線y=上與M有相同橫坐標的點，則Y=. ∵y= ∴ 設是點M到直線y=的距離，則<，當x逐漸增大時，逐漸減小，x無限增大，接近于O，也接近于O.就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON. 在其他象限內(nèi)，也可證明類似的情況. （上述內(nèi)容用幻燈片給出）. ④等軸雙曲線： 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線. ⑤利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖.具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線. 5.離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比e=，叫雙曲線的離心率. 說明：①由c>a>0可得e>1； ②雙曲線的離心率越大，它的開口越闊. 師：為使大家進一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)，我們來看下面的例題. 例1 求雙曲線9y2－16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程. 解：把方程化為標準方程. . 由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3. . 焦點的坐標是（0，－5），（0，5）. 離心率. 漸近線方程為 ，即. 說明：此題要求學生認識到第二種形式的標準方程所對應的雙曲線性質(zhì)與課本性質(zhì)的相同點與不同點.可讓學生比較得出（作為練習）. III.課堂練習： （1）寫出第二種形式的標準方程所對應的雙曲線性質(zhì). （2）課本P113練習1. ●課堂小結 師：通過本節(jié)學習，要求大家熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡單應用雙曲線的幾何性質(zhì). ●課后作業(yè) 習題8.4 1、5、6. ●板書設計 8.4.1 …… 1.范圍 4.漸近線 5.離心率 練習1 ①… … （1）… 2.對稱性 ②… ③… 例1… （2）… ④ 3.頂點 ⑤ (3)… ●教學后記