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2019-2020年高三數(shù)學(xué)理科新課抽樣方法、總體分布的估計(jì)、正態(tài)分布、線性回歸人教版 一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 高三新課：抽樣方法、總體分布的估計(jì)、正態(tài)分布、線性回歸 二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)： 1. 抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣。 2. 正態(tài)分布： （1）正態(tài)分布的密度函數(shù)：（） （2）正態(tài)曲線 （3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)：（） （4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 （5）正態(tài)曲線的性質(zhì) 【典型例題】 [例1] 為了了解參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名學(xué)生的成績(jī)，打算抽取一個(gè)容量為50的樣本，說(shuō)明抽樣方法。 解：用系統(tǒng)抽樣法：假定這1000名學(xué)生的編號(hào)為1，2，…，1000，由于，將總體均分成50個(gè)部分，其中每一部分包含20個(gè)個(gè)體，假設(shè)第一部分的編號(hào)為1，2，…，20，然后在第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼（比如它是第18號(hào)），那么從該號(hào)碼開(kāi)始，每隔20抽取一個(gè)號(hào)碼，這樣得到一個(gè)容量為50的樣本：18，38，58，…，978，998即為系統(tǒng)抽樣樣本。 [例2] 某學(xué)校有在編人員160人，其中行政人員16人，教師112人，后勤人員32人，教育部門(mén)為了了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程。 解：因?yàn)闄C(jī)構(gòu)改革關(guān)系到各種人的不同利益，故采用分層抽樣方法較為妥當(dāng)。 ∵ ，∴ ，，。 因行政人員和后勤人員較少，可將他們分別按1~16編號(hào)與1~32編號(hào)，然后采取抽簽法分別抽取2人和4人。對(duì)教師112人采用000，001，…，111編號(hào)，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人。 [例3] 某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品有48個(gè)，二級(jí)品有64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè)，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本。請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同。 解： （1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采取抽簽法，將160個(gè)零件按1~160編號(hào)，相應(yīng)地制作了1~160個(gè)號(hào)簽，從中隨機(jī)抽20個(gè)，顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。 （2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件從1至160編上號(hào)，按編號(hào)順序分成20組，每組8個(gè)，先在第1組用抽簽法抽得號(hào)（），則在其余組中分別抽取第（1，2，3，…，19）號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 （3）分層抽樣法：按比例，分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品、等外品中抽取=6（個(gè)），（個(gè)），（個(gè)），（個(gè)），每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，即都是。 綜上可知，無(wú)論采取哪種抽樣，總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是。 [例4] 某人在同一條件下射靶50次，其中射中5環(huán)或5環(huán)以下2次，射中6環(huán)3次，射中7環(huán)9次，射中8環(huán)21次，射中9環(huán)11次，射中10環(huán)4次。 （1）列出頻率分布表； （2）畫(huà)出表示頻率分布的條形圖； （3）根據(jù)上面結(jié)果，估計(jì)這名射擊者射中7環(huán)~9環(huán)的概率是多少。 解： （1）列出頻率分布表，如下 分組 頻數(shù) 頻率 累積頻率 5環(huán)或5環(huán)以下 2 0.04 0.04 6環(huán) 3 0.06 0.10 7環(huán) 9 0.18 0.28 8環(huán) 21 0.42 0.70 9環(huán) 11 0.22 0.92 10環(huán) 4 0.08 1.00 （2）頻率分布的條形圖如下 記5環(huán)或5環(huán)以下的為5，6環(huán)的為6，…，10環(huán)的為10。 （3）射中7環(huán)~9環(huán)的頻率為0.18+0.42+0.22=0.82，即射中7環(huán)~9環(huán)的概率均為0.82。 [例5] 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的應(yīng)用：（1）求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在（）內(nèi)取值的概率；（2）求正態(tài)總體N（1，4）取值小于3的概率。 解： （1） （2）對(duì)于N（）總有，所以對(duì)N（1，4）來(lái)說(shuō)，，，則有，即正態(tài)總體N（1，4）取值小于3的概率是0.8413。 [例6] ，借助于表，求： （1）； （2）確定C的值，使得 解： （1） （2）∵ 又 ∴ ，而 查表，得，故，∴ C=3 [例7] 已知從某批材料中任取一件時(shí)，取得的材料的強(qiáng)度服從N（200，182） （1）計(jì)算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率； （2）如果所用的材料要求以99%的概率保證強(qiáng)度不低于150，問(wèn)這批材料是否符合這個(gè)要求。 解： （1） 查表，得 （2）可以先求出：這批材料中任取一件時(shí)強(qiáng)度都不低于150的概率是多少，根據(jù)這個(gè)結(jié)果與99%進(jìn)行比較大小，從而得出結(jié)論。 即從這批材料中任取一件時(shí)，強(qiáng)度保證不低于150的概率為，所以這批材料符合所提要求。 [例8] 某城市從南郊某地乘公共汽車(chē)前往北區(qū)火車(chē)站有兩條路線可走，第一條路線穿過(guò)市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位：）服從正態(tài)分布N（50，）；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長(zhǎng)，但交通阻塞少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N（60，）。 （1）若只有70min可用，問(wèn)應(yīng)走哪種路線？ （2）若只有65min可用，又應(yīng)走哪條路線？ 解：設(shè)為行車(chē)時(shí)間。 （1）走第一條路線，及時(shí)趕到的概率為 走第二條路線及時(shí)趕到的概率為 因此在這種情況下應(yīng)走第二條路線。 （2）走第一條路線及時(shí)趕到的概率為 走第二條路線及時(shí)趕到的概率為 因此在這種情況下應(yīng)走第一條路線。 [例9] 一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間有如下一組數(shù)據(jù)： 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 （1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）求月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸直線方程。 （1）畫(huà)出的散點(diǎn)圖如下圖所示。 （2）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 ，， ，， 于是可得 1.215 因此所求的回歸直線方程是 【模擬試題】 一. 選擇題： 1. 在統(tǒng)計(jì)中，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為201的總體中抽取一個(gè)容量為8的樣本，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（ ） A. B. C. D. 2. 某影院有50排坐位，每排有30個(gè)座位，一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽(tīng)眾，會(huì)后留下所有座位號(hào)為18的聽(tīng)眾50人進(jìn)行座談，則采用的抽樣方法一定是（ ） A. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B. 抽查 C. 隨機(jī)數(shù)表 D. 以上都不對(duì) 3. 要從已編號(hào)（1~50）的50部新生產(chǎn)的賽車(chē)中隨機(jī)抽取5部進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法所確定所選取的5部賽車(chē)的編號(hào)可能是（ ） A. 5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43 C. 5，8，11，14，17 D. 4，8，12，16，20 4. 從總數(shù)為N的一批零件中采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽取的概率為0.25，則N=（ ） A. 150 B. 200 C. 120 D. 100 5. 若，，則（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 若隨機(jī)變量，則 ~N（0，1） A. B. C. D. 7. 設(shè)~N（0，1）且P（1.623）=，那么P（）=（ ） A. B. C. D. 8. 設(shè)，，則=（ ） A. B. C. D. 二. 解答題： 1. 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有6個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，試證明每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等。 2. 某班有48名同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問(wèn)從理論上講80分至90分之間有多少人？ 3. 設(shè)，求：（1）；（2）常數(shù)C，使 [參考答案] / 一. 1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. C 8. C 二. 1. 解：對(duì)于總體中的任意指定的個(gè)體來(lái)說(shuō)，在從總體中抽取第一個(gè)個(gè)體時(shí)被抽到的概率為，第一次未被抽到而第二次被抽到的概率也是（即，第一次未被抽到概率為），由于個(gè)體第一次被抽到與第二次被抽到是互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，在先后抽取2個(gè)個(gè)體的過(guò)程中，個(gè)體被抽到的概率是，由的任意性知，即在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都是。 2. 解：設(shè)表示這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，則 設(shè)，則 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 所以 ∴ 故該班分?jǐn)?shù)落在80分到90分之間的大約有16人。 3. 解： （1） （2）由得 則 查表得 ∴