《高中數(shù)學(xué) 1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（ 二）課件 新人教A版選修1-2.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（ 二）課件 新人教A版選修1-2.ppt（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（二）,高中數(shù)學(xué) 選修1-2,比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計 畫散點圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 y＝bx＋a 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修１-２——統(tǒng)計案例 引入線性回歸模型 y＝bx＋a＋e 了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,回歸分析的內(nèi)容與步驟：,統(tǒng)計檢驗通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計、預(yù)測因變量。,回歸分析通過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。,其主要內(nèi)容和步驟是： 首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；,其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；,由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗；,,例1 從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：,2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。,,,分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．,2.回歸方程：,1. 散點圖；,本例中, r=0.7980.75．這表明體重與身高有很強的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的。,探究： 身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg。,即，用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測值，只能給出她們平均體重的值。,,例1 從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：,2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。,3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。,,,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e， (3) 其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。,另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 為截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報值與真實值y之間誤差的另一個原因。,思考: 產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？,隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）： 1、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測誤差。 以上三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,可以提供 選擇模型的準則,,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和 隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。,在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報變量。,所以，對于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報其體重為,,思考： 如何刻畫預(yù)報變量（體重）的變化？這個變化在多大程度上 與解析變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機誤差有關(guān)？,假設(shè)身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相 同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)8名女大學(xué)生的體重都是她們的平均值， 即8個人的體重都為54.5kg。,在散點圖中，所有的點應(yīng)該落在同一條 水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如 此。這就意味著預(yù)報變量（體重）的值 受解析變量（身高）或隨機誤差的影響。,對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗,例如，編號為6的女大學(xué)生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析 變量（身高）和隨機誤差共同把這名學(xué)生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg， 所以6.5kg是解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)。,編號為3的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析 變量（身高）和隨機誤差共同把這名學(xué)生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 這時解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg。,用這種方法可以對所有預(yù)報變量計算組合效應(yīng)。,在例1中，總偏差平方和為354。,那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？ 有多少來自于隨機誤差？,假設(shè)隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖 中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸 直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上 “推”開了。,在例1中，殘差平方和約為128.361。,例如，編號為6的女大學(xué)生，計算隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為：,即，,由于解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機誤差的效應(yīng)為 128.361，所以解析變量的效應(yīng)為,解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和） =解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機誤差的效應(yīng)（殘差平方和）,離差平方和的分解 （三個平方和的意義）,總偏差平方和(SST) 反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差 回歸平方和(SSR) 反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和 殘差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和,樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) R2 ）,1.回歸平方和占總離差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度 取值范圍在 [ 0 , 1 ] 之間 R2 ?1，說明回歸方程擬合的越好；R2?0，說明回歸方程擬合的越差 判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(r)2,顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報變量變化的貢獻率。,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預(yù)報變量的 線性相關(guān)性越強）。,如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值 來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。,總的來說： 相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。,從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻了64%，即R2 0.64，可以敘述為 “身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多。,表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。,在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本 編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,,殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,,,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高。,例2、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,解：,例2、在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,列出殘差表為,0.994,因而，擬合效果較好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,——這些問題也使用于其他問題。,涉及到統(tǒng)計的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時間性； 樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。,小結(jié),一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預(yù)報變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。,（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。,什么是回歸分析？ （內(nèi)容）,從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度,回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別,相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化 相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量 相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制,