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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)A 【知識(shí)導(dǎo)讀】 任意角 的概念 角度制與 弧度制 任意角的 三角函數(shù) 弧長(zhǎng)與扇形 面積公式 三角函數(shù)的 圖象和性質(zhì) 和 角 公 式 差 角 公 式 幾個(gè)三角 恒等式 倍 角 公 式 同角三角函數(shù)關(guān)系 誘 導(dǎo)公 式 正弦定理與余弦定理 解斜三角形及其應(yīng)用 化簡(jiǎn)、計(jì)算、求值 與證明 【方法點(diǎn)撥】 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它與數(shù)學(xué)的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系，同時(shí)它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法——“三角法”．這一部分的內(nèi)容，具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： 1．公式繁雜.公式雖多，但公式間的聯(lián)系非常密切，規(guī)律性強(qiáng).弄清公式間的相互聯(lián)系和推導(dǎo)體系，是記住這些公式的關(guān)鍵. 2．思想豐富.化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用.如將任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題化歸為銳角的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同名的三角函數(shù)問(wèn)題化成同名的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同角的三角函數(shù)問(wèn)題化成同角的三角函數(shù)問(wèn)題等. 3．變換靈活.有角的變換、公式的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換、三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強(qiáng). 4．應(yīng)用廣泛.三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其它知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)非常多，它是解決立體幾何、解析幾何及向量問(wèn)題的重要工具，并且這部分知識(shí)在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)及其它各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛的應(yīng)用. 第1課 三角函數(shù)的概念 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 理解任意角和弧度的概念，能正確進(jìn)行弧度與角度的換算． 　　角的概念推廣后，有正角、負(fù)角和零角；與終邊相同的角連同角本身，可構(gòu)成一個(gè)集合；把長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角定義為1弧度的角，熟練掌握角度與弧度的互換，能運(yùn)用弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式＝（為弧長(zhǎng)）解決問(wèn)題. 2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定義. 角的概念推廣以后，以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)（），則的三個(gè)三角函數(shù)值定義為：． 從定義中不難得出六個(gè)三角函數(shù)的定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域?yàn)镽；正切函數(shù)的定義域?yàn)椋? 3． 掌握判斷三角函數(shù)值的符號(hào)的規(guī)律，熟記特殊角的三角函數(shù)值． 由三角函數(shù)的定義不難得出三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)記為：一正（第一象限內(nèi)全為正值），二正弦（第二象限內(nèi)只有正弦值為正），三切（第三象限只有正切值為正），四余弦（第四象限內(nèi)只有余弦值為正）．另外，熟記、、、、的三角函數(shù)值，對(duì)快速、準(zhǔn)確地運(yùn)算很有好處. 4． 掌握正弦線、余弦線、正切線的概念． 　　在平面直角坐標(biāo)系中，正確地畫出一個(gè)角的正弦線、余弦線和正切線，并能運(yùn)用正弦線、余弦線和正切線理解三角函數(shù)的性質(zhì)、解決三角不等式等問(wèn)題． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 化成的形式是　　　 　?。? 第二或第四象限 2．已知為第三象限角，則所在的象限是 ． 3．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則=　　　， =　　　　 ． 正 4．的符號(hào)為 ． 5．已知角的終邊上一點(diǎn)（），且，求，的值． 解：由三角函數(shù)定義知，，當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，，． 【范例解析】 例1.（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，求的值； （2）已知角的終邊在一條直線上，求，的值． 分析：利用三角函數(shù)定義求解． 解：（1）由已知，．當(dāng)時(shí)，，，，則； 當(dāng)時(shí)，，，，則． （2）設(shè)點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則； 當(dāng)時(shí)，角是第一象限角，則； 當(dāng)時(shí)，角是第三象限角，則． 點(diǎn)評(píng)：要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． 例2.（1）若，則在第_____________象限． （2）若角是第二象限角，則，，，，中能確定是正值的有____個(gè)． 解：（1）由，得，同號(hào)，故在第一，三象限． （2）由角是第二象限角，即，得，，故僅有為正值． 點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確表示角的范圍，由此確定三角函數(shù)的符號(hào)． 例3. 一扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？ 分析：選取變量，建立目標(biāo)函數(shù)求最值． 解：設(shè)扇形的半徑為x㎝，則弧長(zhǎng)為㎝，故面積為， 當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，，， 所以當(dāng)弧度時(shí)，扇形面積最大25． 點(diǎn)評(píng)：由于弧度制引入，三角函數(shù)就可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)． 【反饋演練】 二 1．若且則在第_______象限． 三 2．已知，則點(diǎn)在第________象限． 3．已知角是第二象限，且為其終邊上一點(diǎn)，若，則m的值為_______． 4．將時(shí)鐘的分針撥快，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為　　　　　?。? 5．若，且與終邊相同，則= ． 6．已知1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______，這個(gè)圓心角所在的扇形的面積是___________． 7．（1）已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積． （2）若扇形的面積為8，當(dāng)扇形的中心角為多少弧度時(shí)，該扇形周長(zhǎng)最小． 簡(jiǎn)解：（1）該扇形面積2； （2），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．此時(shí)，，． 第2課 同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；同角的三角函數(shù)關(guān)系反映了同一個(gè)角的不同三角函數(shù)間的聯(lián)系． 2.掌握正弦，余弦的誘導(dǎo)公式；誘導(dǎo)公式則揭示了不同象限角的三角函數(shù)間的內(nèi)在規(guī)律，起著變名，變號(hào)，變角等作用． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. tan600=______． 2. 已知是第四象限角，，則______． 23 － 3.已知，且，則tan＝______． 4.sin15cos75+cos15sin105=___1___． 【范例解析】 例1.已知，求，的值． 分析：利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角關(guān)系，求值． 解：由，得，是第二，三象限角． 若是第二象限角，則，； 若是第三象限角，則，． 點(diǎn)評(píng)：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函數(shù)值，但沒(méi)有確定角所在的象限，可按角的象限進(jìn)行分類，做到不漏不重復(fù)． 例2.已知是三角形的內(nèi)角，若，求的值． 分析：先求出的值，聯(lián)立方程組求解． 解：由兩邊平方，得，即． 又是三角形的內(nèi)角，，． 由，又，得． 聯(lián)立方程組，解得，得． 點(diǎn)評(píng)：由于，因此式子，，三者之間有密切的聯(lián)系，知其一，必能求其二． 【反饋演練】 1．已知,則的值為_____． 2．“”是“A=30”的必要而不充分條件． 3．設(shè),且，則的取值范圍是 4．已知，且，則的值是 ． 5．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 解：（1）由，得． 原式=． （2）， ． 6．已知，求 （I）的值； （II）的值． 解：（I）∵ ；所以==． （II）由， 于是． 第3課 兩角和與差及倍角公式（一） 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握兩角和與差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系； 2.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換； 3.三角式變換的關(guān)鍵是條件和結(jié)論之間在角，函數(shù)名稱及次數(shù)三方面的差異及聯(lián)系，然后通過(guò)“角變換”，“名稱變換”，“升降冪變換”找到已知式與所求式之間的聯(lián)系； 4.證明三角恒等式的基本思路：根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)，左右歸一，變更命題等方法將等式兩端的“異”化“同”． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. ___________． 3＋cos2x 2. 化簡(jiǎn)_____________． 3. 若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝___________ ． 4.化簡(jiǎn)：___________ ． 【范例解析】 例 .化簡(jiǎn)：（1）； （2）． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一：原式=． 分析二：變“復(fù)角”為“單角”． 解法二：原式． （2）原式= ，，，原式=． 點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)本質(zhì)就是化繁為簡(jiǎn)，一般從結(jié)構(gòu)，名稱，角等幾個(gè)角度入手．如：切化弦，“復(fù)角”變“單角”，降次等等． 【反饋演練】 1．化簡(jiǎn)． 2．若，化簡(jiǎn)_________． 3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，則與的大小關(guān)系是_________． 4．若，則的取值范圍是___________． 5．已知、均為銳角，且，則= 1 . 6．化簡(jiǎn)：． 解：原式=． 7．求證：． 證明：左邊==右邊． 8．化簡(jiǎn)：． 解：原式= ． 第4課 兩角和與差及倍角公式（二） 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.能熟練運(yùn)用兩角和與差公式，二倍角公式求三角函數(shù)值； 2.三角函數(shù)求值類型：“給角求值”，“給值求值”，“給值求角” ． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．寫出下列各式的值： （1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）____1_____． 2．已知?jiǎng)t=_________． 3．求值：（1）_______；（2）_________． － 4．求值：____1____． 5．已知，則________． 6．若，則_________． 【范例解析】 例1.求值：（1）； （2）． 分析：切化弦，通分． 解：（1）原式== ． （2），又． 原式=． 點(diǎn)評(píng)：給角求值，注意尋找所給角與特殊角的聯(lián)系，如互余，互補(bǔ)等，利用誘導(dǎo)公式，和與差公式，二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換． 例2.設(shè)，，且，，求，． 分析：， ． 解：由，，得，同理，可得 ，同理，得． 點(diǎn)評(píng)：尋求“已知角”與“未知角”之間的聯(lián)系，如：，等． 例3.若，，求的值． 分析一：． 解法一：，， 又，，． ，，． 所以，原式=． 分析二：． 解法二：原式= 又， 所以，原式． 點(diǎn)評(píng)：觀察“角”之間的聯(lián)系以尋找解題思路． 【反饋演練】 1．設(shè)，若，則=__________． 2．已知tan =2，則tanα的值為_______，tan的值為___________　． 3．若，則=___________． 4．若，則　　　?。? 5．求值：_________． 6．已知．求的值 解： 又 從而，