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2019-2020年高中數(shù)學(xué)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)梳理教案新人教A版選修2-3 一．線性回歸方程的確定 如果一組具有相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)　作出散點(diǎn)圖大致分布在一條直線附近,那么我們稱這樣的變量之間的關(guān)系為線性相關(guān)關(guān)系(也稱一元線性相關(guān)),這條直線就是回歸直線,記為． 那么如何求得參數(shù)使得各點(diǎn)與此直線的距離的平方和為最小,即如何求得線性回歸方程呢? 在所求回歸直線方程中,當(dāng)取時(shí)，與實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)之間的偏差為,偏差的平方為(如圖1). 　 即 來(lái)刻畫(huà)出個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差的平方和,顯然Q取最小值時(shí)的的值就是我們所求的: 　 其中為樣本數(shù)據(jù),為樣本平均數(shù)，稱為樣本點(diǎn)中心，且所求線性回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心（如圖2所示）． 當(dāng)回歸直線斜率時(shí),為線性正相關(guān), 時(shí)為線性負(fù)相關(guān). y 圖1 應(yīng)注意,這個(gè)最小距離不是通常所指的各數(shù)據(jù)的點(diǎn)到直線的距離,而是各數(shù)據(jù)點(diǎn)沿平行y軸方向到直線的距離（如圖1所示）． y 圖2 對(duì)于上面參數(shù)的求法原理及方法是簡(jiǎn)單的,但是運(yùn)算量較大,需要將展開(kāi),再合并,然后配方整理,從而求得.　 例如,當(dāng)取怎樣實(shí)數(shù)時(shí), 的值為最小,顯然當(dāng)時(shí)最小值為,像這樣配方求最值的方法是經(jīng)常用到的, 線性回歸方程中的參數(shù)就是這樣求出的. 　教材中用了添項(xiàng)法較為簡(jiǎn)捷的求出了截距和斜率分別是使取最小值時(shí)的值． 求得，的值，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)其解法． 　　　線性回歸方程的確定是進(jìn)行回歸分析的基礎(chǔ)． 二．回歸分析：是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． １．線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱 兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)衡量線性相性關(guān)系的強(qiáng)弱，由于分子與斜率的分子一樣，因此，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．當(dāng)?shù)慕^對(duì)值接近１，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性很強(qiáng)；當(dāng)?shù)慕^對(duì)值接近０，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)定當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． ２．解釋變量與隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響以及殘差分析 （1）有關(guān)概念 圖3 y 線性回歸模型 其中和為模型的未知參數(shù)； 稱為解釋變量，稱為預(yù)報(bào)變量； 是與之間的誤差， 叫隨機(jī)誤差。 隨機(jī)誤差的估計(jì)值為 稱為相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差（如圖３）． （2）隨機(jī)誤差的方差估計(jì)值衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度 由于隨機(jī)誤差的均值＝0， 因此，可以用隨機(jī)誤差的方差估計(jì)值＝　（其中，殘差平方和為）衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度，顯然越小，預(yù)報(bào)精度越高。 （3）通過(guò)殘差分析判斷模型擬合效果 　由計(jì)算出殘差，，…，，然后選取橫坐標(biāo)為編號(hào)、或解釋變量或預(yù)報(bào)變量，縱坐標(biāo)為殘差作出殘差圖．通過(guò)圖形分析，如果樣本點(diǎn)的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的采集是否有錯(cuò)誤；另一方面，可以通過(guò)殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄，說(shuō)明模型擬合效果，反映回歸方程的預(yù)報(bào)精度． 　　　　　3．相關(guān)指數(shù)反應(yīng)模型的擬合效果 　　　　?。? ?。?）變量理解： 為總偏差平方和，表示解釋變量和隨機(jī)誤差產(chǎn)生的總的效應(yīng)； 為殘差平方和，表示了隨機(jī)誤差效應(yīng)； ，表示了解釋變量效應(yīng)． （２）模型擬合效果 ，反映了隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量（總效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率； 反映了解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量（總效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率； 因此，越接近１（即越接近0），表示回歸的效果越好， 　　　　　即解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)． 　　　　三．非線性回歸的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題 圖4 　　　　?。?）作散點(diǎn)圖確定曲線模型 根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（如圖４）， 　　　　可見(jiàn)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系．而是 分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的 周?chē)?，也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次 曲線的附近． 　（2）非線性轉(zhuǎn)化為線性 這時(shí)通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系 變?yōu)榫€性關(guān)系；通過(guò)換元把二次函數(shù)關(guān)系變換為 線性關(guān)系．　在這兩種情況下就可以利用線性回歸模型，建立和之間的非線性回歸方程了． （3）比較兩種模型的擬合效果 對(duì)于給定的樣本點(diǎn) 　　ⅰ可以通過(guò)轉(zhuǎn)換后的對(duì)應(yīng)數(shù)表作散點(diǎn)圖來(lái)確定線性回歸的擬合情況，判斷選用哪一種曲線模型較為合適； ⅱ可以通過(guò)原始數(shù)據(jù)及和之間的非線性回歸方程列出殘差對(duì)比分析表，一 般通過(guò)殘差平方和比較兩種模型的擬合效果，顯然殘差平方和較小的擬合效果較好； ⅲ還可以用來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，越大（越接近１），擬合效果越好。