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2019-2020年高中數學 3.1《獨立性檢驗》教案（1） 蘇教版選修2-3 教學目標 （1）通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗（只要求列聯表）的基本思想、方法及初步應用； （2）經歷由實際問題建立數學模型的過程，體會其基本方法． 教學重點、難點：獨立性檢驗的基本方法是重點．基本思想的領會及方法應用是難點． 教學過程 一．問題情境 5月31日是世界無煙日。有關醫(yī)學研究表明，許多疾病，例如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關，吸煙已成為繼高血壓之后的第二號全球殺手。這些疾病與吸煙有關的結論是怎樣得出的呢？我們看一下問題： 1． 某醫(yī)療機構為了了解呼吸道疾病與吸煙是否有關，進行了一次抽樣調查，共調查了515個成年人，其中吸煙者220人，不吸煙者295人．調查結果是：吸煙的220人中有37人患呼吸道疾?。ê喎Q患?。?，183人未患呼吸道疾?。ê喎Q未患?。?；不吸煙的295人中有21人患病，274人未患?。? 問題：根據這些數據能否斷定“患呼吸道疾病與吸煙有關”？ 二．學生活動 為了研究這個問題，（1）引導學生將上述數據用下表來表示： 患病 未患病 合計 吸煙 37 183 220 不吸煙 21 274 295 合計 58 457 515 （2）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異： 在吸煙的人中，有的人患病，在不吸煙的人中，有的人患病． 問題：由上述結論能否得出患病與吸煙有關？把握有多大？ 三．建構數學 1．獨立性檢驗： （1）假設：患病與吸煙沒有關系． 若將表中“觀測值”用字母表示，則得下表： 患病 未患病 合計 吸煙 不吸煙 合計 （近似的判斷方法：設，如果成立，則在吸煙的人中患病的比例與 不吸煙的人中患病的比例應差不多，由此可得，即，因此，越小，患病與吸煙之間的關系越弱，否則，關系越強．） 設， 在假設成立的條件下，可以通過求 “吸煙且患病”、“吸煙但未患病”、“不吸煙但患病”、“不吸煙且未患病”的概率（觀測頻率），將各種人群的估計人數用表示出來． 例如：“吸煙且患病”的估計人數為； “吸煙但未患病” 的估計人數為； “不吸煙但患病”的估計人數為； “不吸煙且未患病”的估計人數為． 如果實際觀測值與假設求得的估計值相差不大，就可以認為所給數據（觀測值）不能否定假設．否則，應認為假設不能接受，即可作出與假設相反的結論． （2）卡方統計量： 為了消除樣本對上式的影響，通常用卡方統計量（χ2）來進行估計． 卡方χ2統計量公式： χ2 （其中） 由此若成立，即患病與吸煙沒有關系，則χ2的值應該很?。汛胗嬎愕忙?，統計學中有明確的結論，在成立的情況下，隨機事件“” 發(fā)生的概率約為，即，也就是說，在成立的情況下，對統計量χ2進行多次觀測，觀測值超過的頻率約為．由此，我們有99%的把握認為不成立，即有99%的把握認為“患病與吸煙有關系”． 象以上這種用統計量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關等問題的方法稱為獨立性檢驗． 說明： （1）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異是用頻率估計概率，利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，觀測數據取值越大，效果越好．在實際應用中，當均不小于5，近似的效果才可接受． （2）這里所說的“呼吸道疾病與吸煙有關系”是一種統計關系，這種關系是指“抽煙的人患呼吸道疾病的可能性（風險）更大”，而不是說“抽煙的人一定患呼吸道疾病”． （3）在假設下統計量χ2應該很小，如果由觀測數據計算得到χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設不合理（即統計量χ2越大，“兩個分類變量有關系”的可能性就越大）． 2．獨立性檢驗的一般步驟： 一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值：類和類（如吸煙與不吸煙），Ⅱ也有兩類取值：類和類（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾病），得到如下表所示： Ⅱ 類 類 合計 Ⅰ 類 類 合計 推斷“Ⅰ和Ⅱ有關系”的步驟為： 第一步，提出假設：兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ沒有關系； 第二步，根據22列聯表和公式計算χ2統計量； 第三步，查對課本中臨界值表，作出判斷． 3．獨立性檢驗與反證法： 反證法原理：在一個已知假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立； 獨立性檢驗（假設檢驗）原理：在一個已知假設下，如果一個與該假設矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設不成立． 四．數學運用 1．例題： 例1．在500人身上試驗某種血清預防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示．問：該種血清能否起到預防感冒的作用？ 未感冒 感冒 合計 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合計 474 526 1000 分析：在使用該種血清的人中，有的人患過感冒；在沒有使用該種血清的人中，有的人患過感冒，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患病率相差較大．從直觀上來看，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患感冒的可能性存在差異． 解：提出假設：感冒與是否使用該種血清沒有關系．由列聯表中的數據，求得 ∵當成立時，的概率約為，∴我們有99%的把握認為：該種血清能起到預防感冒的作用． 例2．為研究不同的給藥方式（口服或注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關，進行了相應的抽樣調查，調查結果如表所示．根據所選擇的193個病人的數據，能否作出藥的效果與給藥方式有關的結論？ 有效 無效 合計 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合計 122 71 193 分析：在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效．從直觀上來看，口服與注射的病人的用藥效果的有效率有一定的差異，能否認為用藥效果與用藥方式一定有關呢？下面用獨立性檢驗的方法加以說明． 解：提出假設：藥的效果與給藥方式沒有關系．由列聯表中的數據，求得 當成立時，的概率大于，這個概率比較大，所以根據目前的調查數據，不能否定假設，即不能作出藥的效果與給藥方式有關的結論． 說明：如果觀測值，那么就認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能作出結論“成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系． 2．練習：課本第91頁 練習第1、2、3題． 五．回顧小結： 1．獨立性檢驗的思想方法及一般步驟； 2．獨立性檢驗與反證法的關系． 六．課外作業(yè)： 課本第93頁 習題3.1 第1、2、3題．