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2019-2020年高中數(shù)學 圓的標準方程教案 新人教A版必修2 　　教學目標 (一)知識目標 1.掌握圓的標準方程：根據(jù)圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑； 2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。 (二)能力目標 1．進一步培養(yǎng)學生用坐標法研究幾何問題的能力； 2. 通過教學，使學生學習運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、證明等合情推理方法，提高學生運算能力、邏輯思維能力； 3. 通過運用圓的標準方程解決實際問題的學習，培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。 (三)情感目標 通過運用圓的知識解決實際問題的學習，理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學生學習數(shù)學的熱情，激發(fā)學生自主探究問題的興趣，同時培養(yǎng)學生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。 　　教學重、難點 (一)教學重點 圓的標準方程的理解、掌握。 (二)教學難點 圓的標準方程的應用。 　　教學方法 選用引導―探究式的教學方法。 　　教學手段 借助多媒體進行輔助教學。 　　教學過程 Ⅰ.復習提問、引入課題 師：前面我們學習了曲線和方程的關系及求曲線方程的方法。請同學們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？ 生：①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設曲線上任一點M的坐標為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐標表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。⑤證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點（一般省略）。［多媒體演示］ 師：這就是建系、設點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標題］ 師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25. 若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？ 生：x2+y2=r2. 師：你是怎樣得到的？（引導啟發(fā)）圓上的點滿足什么條件？ 生：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑。即 ，亦即 x2+y2=r2. 師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？ 生：此圓是到點C(a,b)的距離等于半徑r的點的集合， 由兩點間的距離公式得 即：（x-a）2+(y-b)2= r2 Ⅱ.講授新課、嘗試練習 師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標準方程. 特別：當圓心在原點，半徑為r時，圓的標準方程為：x2+y2=r2. 師：圓的標準方程由哪些量決定？ 生：由圓心坐標（a,b）及半徑r決定。 師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。 1、 寫出下列各圓的標準方程：［多媒體演示］ ① 圓心在原點，半徑是3 ：________________________ ② 圓心在點C（3，4），半徑是 ：______________________ ③ 經(jīng)過點P（5，1），圓心在點C（8，－3）：_______________________ 2、 變式題［多媒體演示］ ① 求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。 答案：(x-1)2 + (y-3)2 = ② 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標和半徑。 答案： C（a,0）, r=|a| Ⅲ.例題分析、鞏固應用 師：下面我們通過例題來看看圓的標準方程的應用. ［例1］ 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經(jīng)過圓上一點P（，）的切線的方程。 師：你打算怎樣求過P點的切線方程？ 生：要求經(jīng)過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求。 師： 斜率怎樣求？ 生：。。。。。。 師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看（如圖） 生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負倒數(shù) 半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－ 所以所求切線方程：y-= －(x-) 即：x+y=17 (教師板書) 師：對照圓的方程x2+y2=17和經(jīng)過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？ 生：。。。。。。 師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關系？ （若看不出來，再看一例） ［例1/］ 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。 答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0 師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學生紛紛舉手回答） 生：分別用切點的橫坐標和縱坐標代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。 師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo）,則結(jié)論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！ 生：xox+yoy=r2. 師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？ 生：。。。。。。 ［例2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。 解：如圖(上一頁)，因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負倒數(shù) ∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－ ∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo) 即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書) 當點P在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。 歸納總結(jié)：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的坐標xo、yo 替換，可得到切線方程 ［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M） 引導學生分析，共同完成解答。 師生分析：①建系； ②設圓的標準方程（待定系數(shù)）；③求系數(shù)（求出圓的標準方程）；④利用方程求A2P2的長度。 解：以AB所在直線為X軸，O為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。則圓心在Y軸上，設為 （0，b）,半徑為r，那么圓的方程是 x2+(y-b)2=r2. ∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組： 解得：b=-10.5 ,r2=14.52 ∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52. 將P2的橫坐標x=-2代入圓的標準方程 且取y>0 得：y= ≈14.36-10.5=3.86 (M) 答：支柱A2P2的長度約為3.86M。 Ⅳ.課堂練習、課時小結(jié) 課本Ｐ77練習2，3 師：通過本節(jié)學習，要求大家掌握圓的標準方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題. Ⅴ.問題延伸、課后作業(yè) (一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時，試求過P點的圓的切線方程。 課本Ｐ81習題7.7 : 1，2，3，4 (二)預習課本Ｐ77～Ｐ79 教學設計說明 　　設計思想： 在教學過程中，教師遵循數(shù)學發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構(gòu)主義教育理論，創(chuàng)設一系列數(shù)學實驗環(huán)境，在情境中讓學生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導加以證明，強調(diào)主動建構(gòu)，從深層次加強學生對知識的感知度，使學生能更好地理解和掌握圓的標準方程。 　　設計理念： 設計的根本出發(fā)點是促進學生的發(fā)展。教師以合作者的身份參與，課堂上建立平等、互助、融洽的關系，師生共同研究，共同提高。 　　設計思路： 本節(jié)課的設計與教材的呈現(xiàn)方式有所不同，教材只是教學的藍本，教師在理解教材編寫意圖的基礎上，應發(fā)揮主觀能動作用，對教材資源進行再加工、再創(chuàng)造，這樣教學有利于認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的有機結(jié)合，也有利于學生從深層次理解和掌握圓的標準方程。鑒于此，本節(jié)在給出圓的標準方程的過程中，運用簡單、特殊的到復雜、一般的數(shù)學思想，使用了觀察、猜測、經(jīng)驗歸納等方法進行合情地推理，同時引導學生對照圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數(shù)學中的美——對稱、簡潔。圓的標準方程的應用是本節(jié)的難點。為了突破難點，設計三個例題。第一、二個例題，從特殊到一般給出切線方程，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，不斷完善自己的認知結(jié)構(gòu)。第三個例題，充分利用多媒體的動感演示，刺激學生的感官，引起更強的注意，從而使學生理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學生學習數(shù)學的熱情，激發(fā)學生自主探究問題的興趣，增強應用意識；同時培養(yǎng)學生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。最后設計了“問題延伸”，讓學生帶著問題走進課堂，又帶著問題走出課堂，激發(fā)學生不斷求知、不斷探索的欲望。 在整個教學過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學生“探”，把“引”和“探”有機的結(jié)合起來，教師的每項措施都是為了力求給學生創(chuàng)造一種思維情境，一種動手、動腦、動口并且主動參與學習的機會，激發(fā)學生求知的欲望，促使學生掌握知識，解決問題。 　　媒體設計： 　　采用powerpoint媒體。本節(jié)知識容量大，同時又有圖形。為了在短時間內(nèi)完成教學內(nèi)容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，節(jié)省時間。同時動態(tài)演示圖形，刺激學生的感官，引起更強的注意，提高課堂教學效率