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2019-2020年高中數(shù)學 第二章《解三角形》之三角形中的幾何計算教案（二） 北師大版必修5 一、教學目標：1、會在各種應用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2、搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3、理解各種應用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4、通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力。 二、教學重點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法 教學難點：實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定 三、教學方法：啟發(fā)引導式 四、教學過程： （一）．復習回顧： 1．正弦定理： 2．余弦定理： ， 3．解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果我們抽去每個應用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應用 （二）、探析范例： 例1:某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘ ｈ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120， 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得 (21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2109ｘcos120， 即36ｘ2－9ｘ210＝0 解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去) ∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6 再由余弦定理可得cos∠BAC＝ ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′所以艦艇方位角為6647′，小時即40分鐘答：艦艇應以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘 評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0，360）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理 例2:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值 分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，Ｓ△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得： PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ) ＝2sin(θ－)＋ ∴當θ－＝即θ＝時，ｙmax＝2＋ 評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性 另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應要求學生予以重視 （三）．隨堂練習：1．已知兩地的距離為兩地的距離為，現(xiàn)測得，則兩地的距離為 （ ） A. B. C. D. 2在△ABC中，已知角B＝45，D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB 解：在△ADC中， cosC＝ 又0＜C＜180，∴sinC＝ 在△ABC中， ∴AB＝ 評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學生注意正、余弦定理的綜合運用 2、 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長。 解：在△ABD中，設(shè)BD=x則 即 整理得：解之：（舍去）由余弦定理： ∴ （四）．小結(jié)：通過本節(jié)學習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應用題的能力 (五）、課后作業(yè)：課本本節(jié)2-1 B組2、3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 補充題：在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形 證法一：欲證△ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a＝ ∴2bcosC＝，即2cosCsinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC ∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ） ∵B、C是三角形的內(nèi)角，∴B＝C，即三角形為等腰三角形 證法二：根據(jù)射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即又∵∴即tanB＝tanC ∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC為等腰三角形 五、教后反思：