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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二講《參數(shù)方程》全部教案 新人教A版選修4-4 教學(xué)目標(biāo)： 1．通過分析拋物運(yùn)動中時(shí)間與運(yùn)動物體位置的關(guān)系，寫出拋物運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。 2．分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。 3．會進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化。 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。參數(shù)方程和普通方程的互化。 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的等價(jià)互化。 教學(xué)過程 x y 500 O A v=100m/s 一．參數(shù)方程的概念 1．探究： （1）平拋運(yùn)動： x y O v=v0 練習(xí)：斜拋運(yùn)動： 2．參數(shù)方程的概念 （見教科書第22頁） 說明：（1）一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的。 （2）參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實(shí)際意義，也可無實(shí)際意義。 例1．（教科書第22頁例1）已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)) （1）判斷點(diǎn)M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系； （2）已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，求a的值。 A、一個(gè)定點(diǎn) B、一個(gè)橢圓 C、一條拋物線 D、一條直線 二．圓的參數(shù)方程 x y O r M M0 x 說明： （1）隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線是相同的。 （2）在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。 例2．（教科書第24頁例2） 思考：你能回答教科書第25頁的思考嗎？ 三．參數(shù)方程和普通方程的互化 1．閱讀教科書第25頁，明確參數(shù)方程和普通方程的互化的方法。注意，在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。 例3．（教科書第25頁例3） 例4．（教科書第26頁例4） 2．你能回答教科書第26頁的思考嗎？ 四．課堂練習(xí) （教科書第26頁習(xí)題） 五．鞏固與反思 1．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識 2．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法 鞏固與提高 1．與普通方程xy=1表示相同曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）是（D） A． B． C． D． 2．下列哪個(gè)點(diǎn)在曲線上（C） A．(2,7) B． C． D．(1,0) 3．曲線的軌跡是（D） A．一條直線 B．一條射線 C．一個(gè)圓 D．一條線段 4．方程表示的曲線是（D） A．余弦曲線 B．與x軸平行的線段 C．直線 D．與y軸平行的線段 5．曲線上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（D） A． B． C．1 D． 6．方程(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是（D） A．一個(gè)定點(diǎn) B．一個(gè)橢圓 C．一條拋物線 D．一條直線 7．直線與圓相切，那么直線的傾斜角為（A） A．或 B．或 C．或 D．或 8．曲線的一個(gè)參數(shù)方程為。 9．曲線的普通方程為。 10．已知，則的最大值是6。 11．設(shè)飛機(jī)以勻速v=150m/s作水平飛行，若在飛行高度h=588m處投彈（設(shè)投彈的初速度等于飛機(jī)的速度，且不計(jì)空氣阻力）。 （1）求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程； （2）試問飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)（水平距離）處投彈才能命中目標(biāo)。 解：（1）。 （2）1643m。 12．火炮以為發(fā)射角，為初速度發(fā)射，求炮彈的軌跡方程。 解：。 13．動點(diǎn)M從起點(diǎn)M0(1,2)出發(fā)作等速直線運(yùn)動，它在x軸與y軸方向上的分速度分別為6和8，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。 解：。 14．求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。 解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=1,分別代入直線方程,得交點(diǎn)為（0，2）和（2，0）。 圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合） 過程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：會用圓的參數(shù)方程求最值。 教學(xué)難點(diǎn)：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題. 授課類型：復(fù)習(xí)課 教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 教學(xué)過程： 一、最值問題 1.已知P（x,y）圓C：x2+y2－6x－4y+12=0上的點(diǎn)。 （1）求 的最小值與最大值 （2）求x－y的最大值與最小值 2.圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-25=0的距離最小值是　　　　??； 2/.圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離是_______； 3. 過點(diǎn)(2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦： 　為最長的直線方程是_________；為最短的直線方程是__________； 4．若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0，則x-2y的最大值為 　　　　　??； 二、參數(shù)法求軌跡 　　1)一動點(diǎn)在圓x2＋y2=1上移動,求它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程 2)已知點(diǎn)A(2,0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn),的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡. C.參數(shù)法 解題思想：將要求點(diǎn)的坐標(biāo)x,y分別用同一個(gè)參數(shù)來表示 例題：1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動, 求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程 2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方 程表示一個(gè)圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程。 三、小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容要求掌握 1．用圓的參數(shù)方程求最值； 2．用參數(shù)法求軌跡方程，消參。 四、作業(yè)： 圓錐曲線的參數(shù)方程 教學(xué)目的： 知識與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 過程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡單曲線的參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法 教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 授課類型：新授課 教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對應(yīng)的參數(shù)方程。 (1)圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） （2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)） 2．寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 3．能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？ 二、講解新課： 1.橢圓的推導(dǎo)：橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） 2.雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)） 3.拋物線的參數(shù)方程：拋物線參數(shù)方程 （t為參數(shù)） 1、 關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說明： （1） 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。 （2） 同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣 （3） 在實(shí)際問題中要確定參數(shù)的取值范圍 2、 參數(shù)方程的意義： 參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中，分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。 3、 參數(shù)方程求法 （1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù) （3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式 （4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程 4、 關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取 選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對簡單。 與運(yùn)動有關(guān)的問題選取時(shí)間做參數(shù) 與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角做參數(shù) 或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。 二、 典型例題： 例1．設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射速度為， （1）求子彈彈道曲線的參數(shù)方程（不計(jì)空氣阻力） （2）若，，當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時(shí)， ① 求炮彈高度 ② 求出炮彈的射程 例2．求橢圓的參數(shù)方程（見教材P.40） 橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） 變式訓(xùn)練1. 已知橢圓 (為參數(shù)) 求 （1）時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) （2）直線OP的傾斜角 變式訓(xùn)練2 A點(diǎn)橢圓長軸一個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA=90，其中O為橢圓中心，求橢圓離心率的取值范圍。 例3．把圓化為參數(shù)方程 （1） 用圓上任一點(diǎn)過原點(diǎn)的弦和軸正半軸夾角為參數(shù) （2） 用圓中過原點(diǎn)的弦長為參數(shù) 三、鞏固與練習(xí) 四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法; 2．體會參數(shù)的意義 五、課后作業(yè)：教材P34習(xí)題2.2 圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 教學(xué)目的： 知識與技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題 過程與方法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。 教學(xué)難點(diǎn)：正確使用參數(shù)式來求解最值問題 授課類型：新授課 教學(xué)模式：講練結(jié)合 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)將解析幾何中以計(jì)算問題化為三角問題，從而運(yùn)用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如最值，參數(shù)取值范圍等問題。 二、講解新課： 例1．求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值 變式訓(xùn)練1 橢圓 （）與軸正向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使OP⊥AP，（O為原點(diǎn)），求離心率的范圍。 例2．AB為過橢圓中心的弦，， 為焦點(diǎn)，求△ABF1面積的最大值。 例3．拋物線的內(nèi)接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求內(nèi)接三角形的周長。 例4 、過P（0，1）到雙曲線最小距離 變式訓(xùn)練2： 設(shè)P為等軸雙曲線上的一點(diǎn)，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明 例5，在拋物線的頂點(diǎn)，引兩互相垂直的兩條弦OA，OB，求頂點(diǎn)O在AB上射影H的軌跡方程。 三、鞏固與練習(xí) 四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 適當(dāng)使用參數(shù)表示已知曲線上的點(diǎn)用以求最值問題 五、課后作業(yè)： 直線的參數(shù)方程 教學(xué)目的： 知識與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義 過程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：曲線參數(shù)方程的定義及方法 教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 授課類型：新授課 教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 一、復(fù)習(xí)引入： 1．寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對應(yīng)的參數(shù)方程。 圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） （2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)） 2．寫出橢圓參數(shù)方程. 3．復(fù)習(xí)方向向量的概念.提出問題:已知直線的一個(gè)點(diǎn)和傾斜角,如何表示直線的參數(shù)方程? 二、講解新課： 1、 教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程： 過定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)） 2、 辨析直線的參數(shù)方程： T的幾何意義是指它表示點(diǎn)P0P的長,帶符號. 三、直線的參數(shù)方程應(yīng)用： 課本例題,此略. 四、小結(jié)： （1）直線參數(shù)方程求法 （2）直線參數(shù)方程的特點(diǎn) （3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義 五、作業(yè)：課本P39習(xí)題2.3 參數(shù)方程與普通方程互化 教學(xué)目的： 知識與技能：掌握參數(shù)方程化為普通方程幾種基本方法 過程與方法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化 教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性 授課類型：新授課 教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： （1）圓的參數(shù)方程 （2）橢圓的參數(shù)方程 二、講解新課： 1、參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù) （2） 三角法：利用三角恒等式消去參數(shù) （3） 整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去。 化參數(shù)方程為普通方程為：在消參過程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。 2、常見曲線的參數(shù)方程 （1）圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） （2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)） （3）橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)） （4）雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)） （5）拋物線參數(shù)方程 （t為參數(shù)） （6）過定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)） 典型例題 1、 將下列參數(shù)方程化為普通方程 （1） （2） （3） （4） （5） 變式訓(xùn)練1 2、（1）方程 表示的曲線 A、一條直線 B、兩條射線 C、一條線段 D、拋物線的一部分 （2）下列方程中，當(dāng)方程表示同一曲線的點(diǎn) A、 B、 C、 D、 例2化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線。 （1） （t是參數(shù)） （2） （是參數(shù)） （3） （t是參數(shù)） 變式訓(xùn)練2。P是雙曲線 （t是參數(shù)）上任一點(diǎn)，，是該焦點(diǎn)： 求△F1F2的重心G的軌跡的普通方程。 例3、已知圓O半徑為1，P是圓上動點(diǎn)，Q（4，0）是軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。 變式訓(xùn)練3： 已知為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值。 三、鞏固與練習(xí) 四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 熟練記憶把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。 五、課后作業(yè)：見教材53頁 2.3.4.5 圓的漸開線與擺線 教學(xué)目的： 知識與技能：了解圓的漸開線的參數(shù)方程, 了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程. 過程與方法：學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法和步驟 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)： 圓的漸開線的參數(shù)方程，擺線的參數(shù)方程 教學(xué)難點(diǎn)： 用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法 授課類型：新授課 教學(xué)模式：講練結(jié)合 啟發(fā)引導(dǎo) 自學(xué)指導(dǎo) 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 償試指導(dǎo)法 啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1 復(fù)習(xí)：圓的參數(shù)方程 二、講解新課： 1、以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得圓漸開線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） 2、在研究平擺線的參數(shù)方程中，取定直線為軸，定點(diǎn)M滾動時(shí)落在直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為r，可得擺線的參數(shù)方程為。 （為參數(shù)） 例1 求半徑為4的圓的漸開線參數(shù)方程 變式訓(xùn)練1 當(dāng)，時(shí)，求圓漸開線 上對應(yīng)點(diǎn)A、B坐標(biāo)并求出A、B間的距離。 變式訓(xùn)練2 求圓的漸開線上當(dāng)對應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)。 例2 求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程 變式訓(xùn)練3 求擺線 與直線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo) 例3、設(shè)圓的半徑為8，沿軸正向滾動，開始時(shí)圓與軸相切于原點(diǎn)O，記圓上動點(diǎn)為M它隨圓的滾動而改變位置，寫出圓滾動一周時(shí)M點(diǎn)的軌跡方程，畫出相應(yīng)曲線，求此曲線上縱坐標(biāo)的最大值，說明該曲線的對稱軸。 三、鞏固與練習(xí) 四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1． 2． 3． 五、課后作業(yè)：見教材P.57/16 來源：