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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點難點講解 求圓錐曲線方程教案 舊人教版 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法. ●難點磁場 1.(★★★★★)雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________. 2.(★★★★)如圖，設(shè)圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程. ●案例探究 ［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. (1)建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程. (2)求冷卻塔的容積(精確到10 m2,塔壁厚度不計，π取3.14). 命題意圖：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目. 知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積. 錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，積分求容積是本題的重點. 技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積. 解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使AA′在x軸上，AA′的中點為坐標(biāo)原點O，CC′與BB′平行于x軸. 設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),則a=AA′=7 又設(shè)B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有 由題意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7 故雙曲線方程為=1. (2)由雙曲線方程，得x2=y2+49 設(shè)冷卻塔的容積為V(m3),則V=π,經(jīng)計算，得V=4.25103(m3) 答：冷卻塔的容積為4.25103m3. ［例2］過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程. 命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)，屬★★★★★級題目. 知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題. 錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵. 技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理. 解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上. 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0, 設(shè)AB中點為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－= －1,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1. 右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x′,y′), 由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=. ∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1. 解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1), 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－. 直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k= －1. 若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. ［例3］如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程. () 命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★級題目. 知識依托：定比分點坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程. 錯解分析：利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出 △P1OP2的面積是學(xué)生感到困難的. 技巧與方法：利用點P在曲線上和△P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值. 解：以O(shè)為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0) 由e2=，得. ∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x 設(shè)點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標(biāo)為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1, 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4,b2=9 故雙曲線方程為=1. ●錦囊妙計 一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟. 定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置. 定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0). 定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小. ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)已知直線x+2y－3=0與圓x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若OP⊥OQ，則m等于( ) A.3 B.－3 C.1 D.－1 2.(★★★★)中心在原點，焦點在坐標(biāo)為(0，5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( ) 二、填空題 3.(★★★★)直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_________. 4.(★★★★)已知圓過點P(4，－2)、Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_________. 三、解答題 5.(★★★★★)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程. 6.(★★★★)某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長. 7.(★★★★★)已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程. 參考答案 難點磁場 1.解析：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|, 依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜, 又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1. 答案：1 2.解法一：設(shè)所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a| ∵圓P截y軸所得弦長為2，∴r2=a2+1 又由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2－a2=1 又∵點P(a,b)到直線x－2y=0的距離d=, 因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有, ∵r2=2b2, ∴r2=2 于是所求圓的方程為：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二：設(shè)所求圓P的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0) 設(shè)A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點，則y1、y2是方程a2+(y－b)2=r2的兩根， ∴y1，2=b 由條件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1 設(shè)點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點，則x1,x2是方程(x－a)2+b2=r2的兩個根， ∴x1，2=a 由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1 設(shè)圓心P(a,b)到直線x－2y=0的距離為d= ∴a－2b=d,得a2=(2bd)2=4b24bd+5d2 又∵a2=2b2－1,故有2b24bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程， ∵方程有實根. ∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1. ∴dmin=,將其代入2b24bd+5d2+1=0, 得2b24b+2=0,解得b=1. 從而r2=2b2=2,a==1 于是所求圓的方程為(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 殲滅難點訓(xùn)練 一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0, 得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0. 整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2) 則y1y2=,y1+y2=4. 又∵P、Q在直線x=3－2y上， ∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9 故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3. 答案：A 2.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2, 即方程為=1. 將直線3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75. 答案：C 二、3.解析：所求橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解. 答案： =1 4.解析：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2 則有 由此可寫所求圓的方程. 答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0 三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2, ∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ① 設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m ② 將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0), 則x0= (x1+x2)=,y0=－x0+m=. 代入y=x,得, 由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－, 又|M1M2|=, 代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1. 6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系， 如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4） 設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=12.5, 于是拋物線方程為x2=－25y. 由題意知E點坐標(biāo)為(2，－4)，E′點橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米. 7.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1, 又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2, 又=1,兩式相減，得=0, 即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0. 化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3, 代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=, 得，解得b2=8. 故所求橢圓方程為=1.