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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（1）教案 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo) （1）綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與測量學(xué)、航海問題等有關(guān)的實(shí)際問題； （2）體會(huì)數(shù)學(xué)建摸的基本思想，掌握求解實(shí)際問題的一般步驟； （3）能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面，多角度培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) （1）綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些實(shí)際問題； （2）掌握求解實(shí)際問題的一般步驟． 教學(xué)過程 一．問題情境 1．復(fù)習(xí)引入 復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理及其變形形式， （1）正弦定理、三角形面積公式： ； ． （2）正弦定理的變形： ①； ②； ③． （3）余弦定理：． 二．學(xué)生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)所學(xué)內(nèi)容，然后思考生活中有那些問題會(huì)用到這兩個(gè)定理，舉例說明. 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中邊角之間的相互關(guān)系，在測量學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 1．下面給出測量問題中的一些術(shù)語的解釋： （1）朝上看時(shí)，視線與水平面夾角為仰角；朝下看時(shí)，視線與水平面夾角為俯角. （2）從某點(diǎn)的指北方向線起,依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角,叫方位角. （3）坡度是指路線縱斷面上同一坡段兩點(diǎn)間的高度差與其水平距離的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以這樣理解：坡面與水平面的夾角為45度.45度幾乎跟墻壁一樣的感覺了. （4）科學(xué)家為了精確地表明各地在地球上的位置，給地球表面假設(shè)了一個(gè)坐標(biāo)系，這就是經(jīng)緯度線. 2．應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的解題步驟：①根據(jù)題意作出示意圖；②確定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③選用合適的定理進(jìn)行求解；④給出答案. 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．如圖1-3-1，為了測量河對岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測得，，，，.設(shè)在同一平面內(nèi)，試求之間的距離（精確到）. 解：在中，，，則.又，由正弦定理，得 圖1-3-1 . 在中，，， 則.又，由正弦定理，得 . 在中，由余弦定理，得 ， 所以 答兩點(diǎn)之間的距離約為. 本例中看成或的一邊，為此需求出，或，，所以可考察和，根據(jù)已知條件和正弦定理來求，，再由余弦定理求. 引申：如果，兩點(diǎn)在河的兩岸（不可到達(dá)），試設(shè)計(jì)一種測量，兩點(diǎn)間距離的方法.可見習(xí)題1.3 探究拓展 第8題. 例2．如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到，時(shí)間精確到）. 解：設(shè)艦艇收到信號后在處靠攏漁輪，則，，又，. 由余弦定理，得 ， 即 . 化簡，得 圖1-3-2 ， 解得（負(fù)值舍去）. 由正弦定理，得 ， 所以，方位角為. 答 艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過就可靠近漁輪. 本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應(yīng)用.因?yàn)榕炌牡脚c漁輪從到的時(shí)間相同，所以根據(jù)余弦定理可求出該時(shí)間，從而求出和；再根據(jù)正弦定理求出. 例3．如圖，某海島上一觀察哨在上午時(shí)測得一輪船在海島北偏東的處，時(shí)分測得輪船在海島北偏西的處，時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn)，求船速. 解：設(shè)，船的速度為，則，. （例3） 在中，，. 在中，， . 在中，， ，， 船的速度. 2．練習(xí)：書上P20 練習(xí)1，3，4題. 五．回顧小結(jié)： 1．測量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題. 2．解決有關(guān)測量、航海等問題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語言（符號語言、圖形語言）表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決. 六．課外作業(yè)： 書上P21頁習(xí)題1.3 第2，3，4題. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)必修五[蘇教版] 1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(2) 教學(xué)目標(biāo) （1）能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形等一些幾何中的問題和物理問題； （2）能把一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦、余弦定理及相關(guān)的三角公式解決這些問題； （3）通過復(fù)習(xí)、小結(jié)，使學(xué)生牢固掌握兩個(gè)定理，應(yīng)用自如. 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 能熟練應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)公式解決三角形的有關(guān)問題。 教學(xué)過程 一．問題情境 1．復(fù)習(xí)引入 總結(jié)解斜三角形的要求和常用方法. （1）．利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角； ②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進(jìn)一步求其它的邊和角. （2） 應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問題： ①已知三邊求三內(nèi)角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)內(nèi)角. 二．學(xué)生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課內(nèi)容，總結(jié)利用兩個(gè)定理解決實(shí)際問題的一般步驟.想一想可以用這兩個(gè)定理來解決有關(guān)物理問題和幾何問題嗎？ 三．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．如圖，在四邊形中，已知,， , , ，求的長. 解：在中，設(shè)， 則， 即， 圖1-3-3 ∴， ∴，（舍去）， 由正弦定理：， ∴． 例2．作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力平衡.已知， ，與之間的夾角是，求的大小與方向 （精確到）. 解：應(yīng)和合力平衡，所以和在同一直線上， 并且大小相等，方向相反. 如圖1-3-3，在中，由余弦定理，得 . 再由正弦定理，得 ， 所以，從而. 答 為，與之間的夾角是. 本例是正弦定理、余弦定理在力學(xué)問題中的應(yīng)用，教學(xué)時(shí)可作如下分析： 由圖根據(jù)余弦定理可求出，再根據(jù)正弦定理求出. 例3．如圖1-3-4，半圓的直徑為，為直徑延長線上的一點(diǎn)，，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形.問：點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形面積最大？ 分析：四邊形的面積由點(diǎn)的位置唯一確定，而點(diǎn)由唯一確定，因此可設(shè)，再用的三角函數(shù)來表示四邊形的面積. 解：設(shè).在中，由余弦定理，得 . 于是，四邊形的面積為 圖1-3-4 . 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即時(shí)，四邊形的面積最大. 對于本例，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生分析得到四邊形的面積隨著的變化而變化.這樣將四邊形的面積表示成的函數(shù)，利用三角形的有界性求出四邊形面積的最大值. 例4．中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積. 解：①設(shè)三邊， 且， ∵為鈍角， ∴，解得， ∵， ∴或，但時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去， 當(dāng)時(shí)，； ②設(shè)夾角的兩邊為，， 所以，，當(dāng)時(shí)，． 2．練習(xí)： 1．書上P20頁練習(xí)第2題，習(xí)題1.3第1題. 2．在中，已知，求的最大內(nèi)角； 第4題 3．已知的兩邊是方程的兩個(gè)根，的面積是，周長是 ，試求及的值； 4．如圖，，，， ，， 求的長. （答案：） 四．回顧小結(jié)： 1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要區(qū)別兩個(gè)定理的不同作用，在解題時(shí)正確選用； 2．由于有三角形面積公式，解題時(shí)要時(shí)刻與三角形面積與三角形外接圓直徑聯(lián)系在一起； 3．應(yīng)用正弦、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)將“邊、角相混合”的等式轉(zhuǎn)化為“邊和角的單一”形式； 4．在較為復(fù)雜的圖形中求邊或角，首先要找出有關(guān)的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解決. 五．課外作業(yè)：書上P21習(xí)題1.3，第5，6，7題，P24復(fù)習(xí)題第6題.