《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課件(理).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課件(理).ppt（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法,,知識鏈條完善,考點專項突破,解題規(guī)范夯實,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導(dǎo)讀】 1.綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系? 提示:(1)分析法的特點是從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實際上是尋求它成立的充分條件.(2)綜合法的特點是從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,實際上是尋找它成立的必要條件.(3)分析法易于探索解題思路,綜合法易于過程表述,在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之. 2.用反證法證明問題的一般步驟有哪些? 提示:(1)反設(shè)(否定結(jié)論):假定所要證的結(jié)論不成立,而結(jié)論的反面成立;(2)歸謬(推導(dǎo)矛盾):將“反設(shè)”作為條件,由此出發(fā),經(jīng)過正確的推理導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾;(3)定論(肯定結(jié)論):矛盾產(chǎn)生的原因在于“反設(shè)”的謬誤,既然結(jié)論的反面不成立,從而肯定了結(jié)論成立.,3.數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟有什么關(guān)系? 提示:數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩個步驟缺一不可,否則就會導(dǎo)致錯誤. 第一步中, 驗算n=n0中的n0不一定為1,根據(jù)題目要求,有時可為2或3等.,知識梳理,1.直接證明 (1)綜合法 定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出 的證明方法. (2)分析法 定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 (已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法. 2.間接證明——反證法 一般地,假設(shè)原命題 (即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明 ,從而證明了 ,這樣的證明方法叫做反證法.,所要證明的結(jié)論成立,判定一個明顯成立的條件,不成立,假設(shè)錯誤,原命題成立,3.數(shù)學(xué)歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: (1)歸納奠基:證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立; (2)歸納遞推:假設(shè) 時命題成立,證明當(dāng) 時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.,n=k(k≥n0,k∈N*),n=k+1,夯基自測,1.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”過程應(yīng)用了( ) (A)分析法 (B)綜合法 (C)綜合法、分析法結(jié)合使用 (D)間接證法,解析:在證明過程中使用了大量的公式和結(jié)論,有平方差公式,同角的關(guān)系式,所以在證明過程中,使用了綜合法的證明方法.,B,解析:應(yīng)選擇分析法.,B,3.用反證法證明命題“若a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是( ) (A)a,b都能被5整除 (B)a,b都不能被5整除 (C)a,b不都能被5整除 (D)a能被5整除,解析:“至少有一個”的反面應(yīng)是“一個都沒有”.故應(yīng)選B.,B,答案:2k,答案:-b,考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,綜合法,反思?xì)w納 (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,考點二,分析法,證明:因為m0, 所以1+m0, 所以要證原不等式成立, 只需證明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0顯然成立, 故原不等式得證.,反思?xì)w納,(1)分析法是“執(zhí)果索因”的證明方法,它是從結(jié)論入手,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證. (2)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時,要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論,再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立.,反證法,考點三,反思?xì)w納,(1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證. (2)利用反證法進行證明時,一定要對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè),并以此為條件進行歸謬,得到矛盾,則原命題成立.,數(shù)學(xué)歸納法,考點四,(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.,反思?xì)w納,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與n有關(guān)的命題,也可以解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問題,其基本模式是“歸納—猜想—證明”.證明的關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立,由歸納假設(shè)推證n=k+1時命題成立. (2)證明n=k+1(k∈N*,k≥n0)時命題成立的常用技巧. ①分析n=k+1時命題與n=k時命題形式的差別,確定證明目標(biāo). ②證明恒等式時常用乘法公式、因式分解、添拆項配方等;證明不等式常用分析法、綜合法、放縮法等.,備選例題,【例1】 (2014高考北京卷)對于數(shù)對序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn), 記T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max {Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak兩個數(shù)中最大的數(shù), (1)對于數(shù)對序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;,解:(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8;,(2)記m為a,b,c,d四個數(shù)中最小的數(shù),對于由兩個數(shù)對(a,b),(c,d)組成的數(shù)對序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),試分別對m=a和m=d兩種情況比較T2(P)和T2(P′)的大小; (3)在由五個數(shù)對(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列P使T5(P)最小,并寫出T5(P)的值(只需寫出結(jié)論).,解:(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 當(dāng)m=a時,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b, 因為a+b+d≤c+d+b,且a+c+d≤c+b+d, 所以T2(P)≤T2(P′); 當(dāng)m=d時,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b, 因為a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b, 所以T2(P)≤T2(P′); 所以無論m=a還是m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立; (3)數(shù)對(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)最小;T1(P)=10,T2(P) =26;T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.,【例3】 是否存在常數(shù)a,b,c使等式1(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2 +c對一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論.,解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化,正確選用合理的數(shù)學(xué)證明方法,【典例】 函數(shù)f(x)=x2-2x-3.定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過兩點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標(biāo). (1)證明:2≤xnxn+13; (2)求數(shù)列{xn}的通項公式.,答題模板:第一步:使用數(shù)學(xué)歸納法證明第一問,先驗證n=1時結(jié)論成立. 第二步:在歸納假設(shè)下,證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理作出命題對一切正整數(shù)都成立的結(jié)論. 第三步:通過構(gòu)造輔助數(shù)列的方法解決第二問. 第四步:把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項,并求出其通項公式. 第五步:把輔助數(shù)列的通項公式轉(zhuǎn)化為所求數(shù)列的通項公式.,