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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計 教學(xué)理念： 數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程中來，尤其是在思維上深層次的參與，是促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動性和創(chuàng)造性有著非常重要的意義。 設(shè)計思想： 本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學(xué)走進(jìn)課堂，保障學(xué)生的主體地位，喚醒學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主體能力，塑造學(xué)生的主體人格，讓學(xué)生在參與中學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作、學(xué)會創(chuàng)新。 一、教材分析： 1、 教學(xué)內(nèi)容： 高中數(shù)學(xué)必修第五模塊第二章第二節(jié)，等差數(shù)列，兩課時內(nèi)容，本節(jié)是第一課時，研究等差數(shù)列的定義、通項公式的推導(dǎo)，借助生活中豐富的典型實例，讓學(xué)生通過分析、推理、歸納等活動過程，從中了解和體驗等差數(shù)列的定義和通項公式。 2、 教學(xué)地位: 本節(jié)是第二章的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是本章的重點內(nèi)容。在高考中也是重點考察內(nèi)容之一，并且在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，它起著承前啟后的作用。同時也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列是學(xué)生探究特殊數(shù)列的開始，它對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識上，還是在方法上都具有積極的意義。 3、 教學(xué)重點： 理解等差數(shù)列概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式，會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系。 4、 教學(xué)難點： 對等差數(shù)列概念的理解及從函數(shù)、方程角度理解通項公式，概括通項公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。 二、學(xué)習(xí)者分析： 高二學(xué)生已經(jīng)具有一定的理性分析能力和概括能力，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認(rèn)識，對數(shù)學(xué)公式的運用已具備一定的技能，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動過程，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻。他們的思維正從屬于經(jīng)驗性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，但仍需要依賴一定的具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。 三、教學(xué)目標(biāo)： 1、 知識目標(biāo)： 理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項公式。 2、 能力目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力，在學(xué)習(xí)過程中，體會數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想和化歸思想并加深認(rèn)識；通過概念的引入與通項公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運用公式解決實際問題的能力。 3、 情感目標(biāo): ①通過個性化的學(xué)習(xí)增強(qiáng)學(xué)生的自信心和意志力。 ②通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動與他人合作交流的意識。 ③體驗從特殊到一般，又到特殊的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 四、教法和學(xué)法的分析： 1、 通過探究式教學(xué)方法充分利用現(xiàn)實情景，盡可能的增加教學(xué)過程的趣味性、實踐性。利用多媒體課件和實例等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，強(qiáng)調(diào)學(xué)生動手操作試驗和主動參與，在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，讓學(xué)生自己去分析、探索，在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而使學(xué)生即獲得知識又發(fā)展智能的目的。 2、 在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生多角度，多層面認(rèn)識事物，學(xué)會探究。教師是學(xué)生的學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)著、合作者，在本節(jié)課的備課和教學(xué)過程中，為學(xué)生的動手實踐，自主探索與合作交流的機(jī)會搭建平臺，鼓勵學(xué)生提出自己的見解，學(xué)會提出問題解決問題，通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式讓學(xué)生學(xué)會自我調(diào)適，自我選擇。 五、教學(xué)媒體和教學(xué)技術(shù)的選用 多媒體計算機(jī)和幾何畫板 通過計算機(jī)模擬演示，使學(xué)生獲得感性知識的同時，為掌握理性知識創(chuàng)造條件，這樣做，可以使學(xué)生有興趣地學(xué)習(xí)，注意力也容易集中，符合教學(xué)論中的直觀性原則和可接受性原則。本節(jié)課打破傳統(tǒng)的一言堂的格局代之以人為本、民主、開放、特色和建立在信息網(wǎng)絡(luò)平臺上的現(xiàn)代教學(xué)格局。 六、教學(xué)程序： （一）設(shè)置問題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)形成概念 師：看大屏幕。 情景1（播放奧運會女子舉重場面） xx年北京奧運會，女子舉重共設(shè)置7個級別，其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）： 48，53，58，63 情景2 水庫的管理員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m） 18，15.5，13，10．5，8，5．5 情景3 我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是： 本利和=本金（1+利率存期） 時間 年初本金（元） 年末本利和（元） 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末本利和分別是：如下表（假設(shè)5年既不加存款也不取款，且不扣利息稅） 各年末本利和（單位：元） 10072，10144，10216，10288，10360 師：思考上述各組數(shù)據(jù)反映了什么樣的信息？ 每行數(shù)有何共同特點？請同學(xué)們互相討論。 （學(xué)生紛紛議論，有的幾個人在一起商量） （從宏觀上 : 情景1 讓學(xué)生體驗成功申辦奧運會的喜悅心情，激發(fā)勇于拼搏的堅強(qiáng)意志；情景2讓學(xué)生認(rèn)識到保護(hù)水資源，保護(hù)生態(tài)平衡的意識；情景3 倡導(dǎo)節(jié)約意識，納稅意識。） 從微觀上，數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)，我們拋開具體的背景，從表格中抽象出一般數(shù)列。 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 師：（啟發(fā)學(xué)生）你能用數(shù)學(xué)語言來描述上述數(shù)列的共同特征嗎？ 學(xué)生1：后一項與它的前一項的差等于常數(shù)。 師：反例：1，3，5，6，12，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列的特征一樣嗎？ 學(xué)生1：不一樣，要加上同一個常數(shù)。 學(xué)生2：每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)。 師：反例：1，3，4，5，6，7，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列的特征一樣嗎？ 學(xué)生2：不一樣，必須從第二項開始。 學(xué)生3：從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)。 （教師把學(xué)生的回答寫在黑板上，通過反例，使學(xué)生深刻理解幾組數(shù)列的共同特征： ①同一個常數(shù)；②從第二項起） 師：能不能用數(shù)學(xué)語言表示？ 學(xué)生4： 師：等價嗎？ 學(xué)生4：應(yīng)加上（d是常數(shù)）,. (讓學(xué)生充分討論，注意文字語言與數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)化的嚴(yán)謹(jǐn)性) 師：對式子進(jìn)行變形可得。 這樣的數(shù)列在生活中的例子，誰能再舉幾個？ 學(xué)生5：某劇場前8排的座位數(shù)分別是 52，50，48，46，44，42，40，38. 學(xué)生6：全國統(tǒng)一鞋號中成年女鞋的各種尺碼分別是 21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25　 學(xué)生7：馬路邊的路燈，相鄰兩盞之間的距離構(gòu)成的數(shù)列。 師：如何用數(shù)列表示？ 學(xué)生8：設(shè)相鄰兩盞之間的距離為a,該數(shù)列為 a,a,a,a,……，為常數(shù)列，即常數(shù)列都具有這種特征。 （讓學(xué)生舉例，加深感性認(rèn)識） 師：滿足這種特征的數(shù)列很多，我們有必要為這樣的數(shù)列取一個名字？ 學(xué)生（共同）：等差數(shù)列。 師：（學(xué)生敘述，板書定義） 一般的，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，d為公差，a1為數(shù)列的首相。 提出課題《等差數(shù)列》 對定義進(jìn)行分析，強(qiáng)調(diào)：①同一個常數(shù)；②從第二項起。注意對概念嚴(yán)謹(jǐn)性的分析。 師：回到表格中，分別說出它們的公差。 學(xué)生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72. 師：在計算年末本利和的問題中求時，能不能不按本利和=本金（1+利率存期） 求而按數(shù)列的特征求呢？ 學(xué)生：若能求得通項公式，問題就很好解決。 （再提出問題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)求通項公式的必要性） （二）啟發(fā)、引導(dǎo)推出等差數(shù)列的通項公式 師：把問題推廣到一般情況。若一個數(shù)列是等差數(shù)列，它的公差是d，那么數(shù)列的通項公式是什么？ 啟發(fā)學(xué)生：（歸納、猜想）可用首相與公差表示數(shù)列中任意一項。 學(xué)生10：即： 即： 即： …… 由此可得： 師：從第幾項開始?xì)w納的？ 學(xué)生10：第二項，所以n≥2。 師：n=1時呢？ 學(xué)生10：當(dāng)n=1時，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項公式 （n∈N*） 師：很好! （歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力）還有沒有其他的推導(dǎo)方法？ 學(xué)生11：還可用下面的方法歸納： 當(dāng)n=1時，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項公式 （n∈N*） 師：我們把這種方法稱為迭代法。大家按照該同學(xué)的思路推導(dǎo)一下。 （把一個學(xué)生推導(dǎo)的情況用投影儀投在大屏幕上）還有其他的推導(dǎo)方法嗎？ （學(xué)生面露難色） 啟發(fā)：看方法一的第一個式子 有何規(guī)律？ 學(xué)生12：可以用累加的方法，左邊累加后得，右邊累加的d+d+d+…….+d共n-1個即 =d+d+d+…….+d ，=（n-1）d ， 師：總結(jié)通項公式的推導(dǎo)方法：遞推歸納法；迭代歸納法；累差法。共同特點：利用觀察、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想方法，它的合理性在以后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法中可以得到證明。注意兩點： 1、對通項公式進(jìn)行分析，通項公式中含有四個量，其中為基本量，當(dāng)確定后，通項公式就確定了。若已知三個量，可用方程的思想求第四個量（即知三求一）。 2、對通項公式變形，對任意的p、q∈N+。在等差數(shù)列中，有 ap=a1+(p-1)d ① aq=a1+(q-1)d ② ①-②有ap-aq=(p-q)d， ∴ap=aq+(p-q)d 其中p,q關(guān)系可以有p＞q，p=q，p＜q。 通項公式的變形式ap=aq+(p-q)d，請同學(xué)記熟，它在解題過程中經(jīng)常被應(yīng)用。 （三）通項公式的應(yīng)用 大屏幕給出例題，由學(xué)生代表講解 例1：（1）求等差數(shù)列8，5，2…的第20項 解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差數(shù)列的通項公式得 a20=8+（20-1）（-3）=-49 （2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？ 解：由 得數(shù)列通項公式為： 由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。（方程思想的運用） 例2、已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠0，那么這種數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項與公差是什么？ 師：如何分析題意？ 學(xué)生13：由等差數(shù)列定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了。 （學(xué)生敘述，教師板書） 解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an（n≥2）。 ∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p， 它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，且公差為p。在通項公式中，令n=1得a1=p+q，所以這個等差數(shù)列的首項是p+q，公差是p。 師: 數(shù)列的通項公式給出的是an與n之間的一種關(guān)系，一個n都對應(yīng)著一個an，這與我們以前學(xué)過的什么內(nèi)容類似？由本例得到什么結(jié)論？ （引發(fā)學(xué)生聯(lián)想、歸納，學(xué)生很自然會想到一次函數(shù)） 學(xué)生14：與一次函數(shù)內(nèi)容類似，即an與n之間的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系；由本例的結(jié)論可知，如果an是關(guān)于n的一次函數(shù)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列。 師:本例題的逆命題，是否也成立？請同學(xué)們課下自己完成證明。它也可以作為證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的一種方法。那么一次函數(shù)的圖象有什么特點？你能否作出等差數(shù)列的圖象？ （四）通項公式的圖象 在直角坐標(biāo)系中作通項公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像，并觀察圖像有什么特點？ 用幾何畫板作圖顯示為下圖： 師:由圖歸納出等差數(shù)列通項公式的圖象的特點。 學(xué)生14：公差不為零的等差數(shù)列的圖象是直線y=px+q上的均勻排開的一群孤立的點。 當(dāng)p=0時，an=q，等差數(shù)列為常數(shù)列，此時數(shù)列的圖象是平行x軸（或x軸）上的均勻公布的一群孤立點。 在大屏幕上打出如下幻燈片： 等差數(shù)列an=pn+q與一次函數(shù)y=px+q的比較 不同點 關(guān)連與相同點 等差數(shù)列 an=pn+q p∈R，n∈N+，p是公差。 （1）p≠0時，數(shù)列an=pn+q圖象所表示的點均勻分布在函數(shù)y=px+q圖象上。 （2）p＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，函數(shù)為增函數(shù)；p＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，函數(shù)為減函數(shù)。 一次函數(shù) y=px+q p≠0，x∈R，p是斜率。 （五）、課時小結(jié) 提出問題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？ 教師鼓勵學(xué)生積極回答，答不完整的沒有關(guān)系，其它同學(xué)補(bǔ)充。以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。并用多媒體把學(xué)生的歸納用一張表展示出來。 學(xué)生15：①等差數(shù)列定義。 即(n≥2) 或an+1- an = d （n∈N*） ②等差數(shù)列通項公式 (n∈N*) 推導(dǎo)出公式： ap=aq+(p-q)d ③等差數(shù)列an=pn+q的圖象是直線y=px+q上的均勻排開的一群孤立的點。 (六)、課后作業(yè) （一）閱讀作業(yè)：通讀教材，復(fù)習(xí)鞏固，思考等差數(shù)列的通項公式的求法； （二）書面作業(yè)：課本45頁習(xí)題2.2組A1，2，3，4題 （三）彈性作業(yè)：模仿等差數(shù)列的定義，思考有沒有“等和數(shù)列”.如果有，請?zhí)骄克亩x、通項公式和相關(guān)的性質(zhì). 七、板書設(shè)計: 等差數(shù)列 一、定義 1． （n≥2） 二、 通項公式 1． 2． ap=aq+(p-q)d 公式推導(dǎo)過程 三、等差數(shù)列與一次函數(shù) 八、課后反思： 1、 探究式教學(xué)走進(jìn)課堂為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了多樣化的活動方式，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生積極參與。學(xué)生通過觀察、猜想、推理等豐富多彩的活動達(dá)到了知識的主動構(gòu)建與理解。 2、 滲透數(shù)學(xué)思想方法中在平時 在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中應(yīng)該教會學(xué)生遇到具體問題時那種思考問題的方式，和解決問題的方法。本節(jié)課在探究解決問題的途徑，引導(dǎo)學(xué)生運用觀察歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想方法。因此在平時教學(xué)時，要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 3、 信息技術(shù)走進(jìn)課堂 充分利用多媒體手段，以輕松愉快的動畫演示，化抽象為形象，創(chuàng)設(shè)了直觀的課堂教學(xué)效果，化解了知識的難點。 4、 課堂上教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生是值得我們深思的一個問題，在完成知識拓展時，課堂上能不能很好的完成題目的變化，要經(jīng)教師的指導(dǎo)，學(xué)生才能逐漸地掌握方法。 5、 作業(yè)的可選擇性使學(xué)生能根據(jù)自己的能力選擇完成。 感悟：輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，討論、合作交流的主陣地，思想品德教育的好場所，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學(xué)生一起來培育，一起來創(chuàng)造，一起來開拓。