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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解 充要條件的判定教案 舊人教版 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識(shí)點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件. ●案例探究 ［例1］已知p：|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性. 知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡單明了. 錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難. 技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決. 解：由題意知： 命題：若?p是?q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件. p:|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10 q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 * ∵p是q的充分不必要條件， ∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集. 又∵m>0 ∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m ∴，∴m≥9， ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是［9，+∞. ［例2］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件. 命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定. 錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明. 技巧與方法：由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明. 解：a1=S1=p+q. 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1) ∵p≠0,p≠1,∴=p 若{an}為等比數(shù)列，則=p ∴=p, ∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1 這是{an}為等比數(shù)列的必要條件. 下面證明q=－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件. 當(dāng)q=－1時(shí)，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1) ∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1) =p為常數(shù) ∴q=－1時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1. ●錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有： (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假. (2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等. (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì). (4)從集合觀點(diǎn)看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件. (5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性). ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( ) A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 2.(★★★★)“a=1”是函數(shù)y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也不是必要條件 二、填空題 3.(★★★★)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________. 4.(★★★★)命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x0,y0),命題B：曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點(diǎn)P(x0,y0),則A是B的__________條件. 三、解答題 5.(★★★★★)設(shè)α，β是方程x2－ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？ 6.(★★★★★)已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：bn=,求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列. 7.(★★★★★)已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件. 8.(★★★★★)p:－20. 即有4+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b (2)必要性： 由2|a|＜4+bf(2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線. ∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實(shí)根. ∵α，β是方程f(x)=0的實(shí)根， ∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時(shí)f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x|x|=－(x|x+0|+b) =－(x|x+a|+b)=－f(x). ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(－x)= (－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0. ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件. 答案：D 2.解析：若a=1,則y=cos2x－sin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為π.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為π,則a=1,故a=1不是必要條件. 答案：A 二、3.解析：當(dāng)a=3時(shí)，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.∵l1與l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3l1∥l2. 答案：充要條件 4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點(diǎn)，則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，過P(x0,y0);反之不成立. 答案：充分不必要 三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p:結(jié)論是q:(注意p中a、b滿足的前提是Δ=a2－4b≥0) (1)由，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴qp (2)為證明pq,可以舉出反例：取α=4,β=,它滿足a=α+β=4+>2,b=αβ=4=2>1,但q不成立. 綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件. 6.證明：①必要性： 設(shè){an}成等差數(shù)列，公差為d,∵{an}成等差數(shù)列. 從而bn+1－bn=a1+nd－a1－(n－1) d=d為常數(shù). 故{bn}是等差數(shù)列，公差為d. ②充分性: 設(shè){bn}是等差數(shù)列，公差為d′,則bn=(n－1)d′ ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ① bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ② ①－②得：nan=bn－1 ∴an=,從而得an+1－an=d′為常數(shù)，故{an}是等差數(shù)列. 綜上所述，數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列. 7.解：①必要性： 由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3) 由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以方程組*有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 消元得：x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 設(shè)f(x)=x2－(m+1)x+4,則有 ②充分性： 當(dāng)3＜x≤時(shí)， x1=>0 ∴方程x2－(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解. 因此，拋物線y=－x2+mx－1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3＜m≤. 8.解：若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，設(shè)為x1,x2. 則0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1, 根據(jù)韋達(dá)定理： 有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp. 反之，取m=－＜0 方程x2+mx+n=0無實(shí)根，所以pq 綜上所述，p是q的必要不充分條件.