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2019-2020年高中數(shù)學(xué)6.3.2《方差與標(biāo)準(zhǔn)差》教案蘇教版必修3 學(xué)習(xí)要求 1．體會(huì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差也是對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明的描述，要求熟練記憶公式，并能用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中； 2．體會(huì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)描述中的異同。 【課堂互動(dòng)】 自學(xué)評(píng)價(jià) 案例 有甲乙兩種鋼筋現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/mm2)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125． 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好? 【分析】 在平均數(shù)相同的情況下，觀察上述數(shù)據(jù)表，發(fā)現(xiàn)乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定． 在平均數(shù)相同的情況下，比較兩組數(shù)據(jù)的極差能大概判斷它們的穩(wěn)定程度． 極差: 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差． 從數(shù)據(jù)表上可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)較分散;甲的極差小，數(shù)據(jù)較集中，這就說明甲比乙穩(wěn)定． 運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡(jiǎn)單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論．這時(shí)，我們考慮用更為精確的方法——方差． 在上一課時(shí)中，學(xué)習(xí)了總體平均數(shù)的估計(jì)，其中提到平均數(shù)是“最理想”近似值的緣由．同樣我們可以考慮每一抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的離差，離差越小，穩(wěn)定性就越高． 那么，怎樣來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度呢？ 在上一課時(shí)中，設(shè)n個(gè)實(shí)驗(yàn)值(=1，2，…，n)的近似值為，那么它與這n個(gè)實(shí)驗(yàn)值(=1，2，…，n)的離差分別為，，…，．由于上述離差有正有負(fù)，故不宜直接相加．可以考慮將各個(gè)離差的絕對(duì)值相加，研究||+||+…+||取最小值時(shí)的值．但由于含絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以考慮離差的平方和，即()2+()2+…+()2，當(dāng)此和最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值作為近似值，因?yàn)? ()2+()2+…+()2 =， 所以當(dāng)時(shí)離差的平方和最小，故可用作為表示這個(gè)物理量的理想近似值，稱其為這n個(gè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)或均值，一般記為 ． 在上述過程中，可以發(fā)現(xiàn)，一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離差的平方和最小，考慮用與其平均數(shù)的離差的平方和來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的差的平方和表示．由于比較的兩組數(shù)據(jù)的容量可能不同，因此應(yīng)將上述平方和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，我們把由此所得的值稱為這組數(shù)據(jù)的方差． 因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開方后的值稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度． 一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱 為這個(gè)樣本的方差，其算術(shù)平方根 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡(jiǎn)稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差． 根據(jù)上述方差計(jì)算公式可算得甲、乙兩個(gè)樣本的方差分別為50和165，故可認(rèn)為甲種鋼筋的質(zhì)量好于乙種鋼筋． 【精典范例】 例1 甲、乙兩種冬水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）, 試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定： 品 種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 【解】 甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 ＝0.02 乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 ＝0.24 例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差 天　數(shù) 151 ～ 180 181 ～ 210 211 ～ 240 241 ～ 270 271 ～ 300 301 ～ 330 331 ～ 360 361 ～ 390 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 【分析】用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命。 【解】 各組中值分別為165,195,225,255,285,315, 345,375，由此算得平均數(shù)約為 ＝267.9 將各組中值對(duì)于此平均數(shù)求方差得 ＝2128.60（天2） 故標(biāo)準(zhǔn)差約為 答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天。 例3（1）求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)果精確到0.1）： 甲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 乙 11 12 13 14 15 16 17 18 19 丙 10 20 30 40 50 60 70 80 90 丁 3 5 7 9 11 13 15 17 19 （2）比較計(jì)算結(jié)果，各組方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系是什么？ 【解】 (1) 甲：6.7，2.6； 乙：6.7，2.6 丙：666.7，25.8 ?。?6.7，5.2 (2) 乙的方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別與甲的相同； 丙的方差是甲的方差的100倍，標(biāo)準(zhǔn)差是甲的10倍； 丁的方差是甲的方差的4倍，標(biāo)準(zhǔn)差是甲的2倍 例4某市共有50萬戶居民，城市調(diào)查隊(duì)按千分之一的比例進(jìn)行入戶調(diào)查，抽樣調(diào)查的結(jié)果如下 家庭人均月收入(元) 工作人員數(shù) 管理人員數(shù) 20 5 60 10 200 50 80 20 40 15 合 計(jì) 400 100 (1)一般工作人員家庭人均月收入的估計(jì)及其方差的估計(jì)； (2)管理人員家庭人均月收入的估計(jì)及其方差的估計(jì) (3)平均數(shù)的估計(jì)及總體方差的估計(jì) 【解】分組數(shù)據(jù)用組中值作為本組數(shù)據(jù)的代表。 (1) =995， =83475 (2) =1040， =90900 (3) =1004 =85284 追蹤訓(xùn)練 1.若樣本，，，．．．，的平均數(shù)，方差，則樣本，，，．．．，的平均數(shù)＝______20_____ ，＝____0.4_____． 2．若，…，的方差為3，則，，…，的方差為12。 3.計(jì)算下列兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差． 甲 9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10.0 9.8 9.7 乙 10.2 10.0 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 解： 甲的平均數(shù)為：0.66 標(biāo)準(zhǔn)差：0.21 乙的平均數(shù)為：10 標(biāo)準(zhǔn)差：0.92 第9課時(shí)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 分層訓(xùn)練 1．以下可以描述總體穩(wěn)定性的統(tǒng)計(jì)量是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A)樣本均值 (B)樣本中位數(shù)　 (C)樣本方差 (D)樣本最大值x(n) 2．已知兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)如下 甲 9.9 10.2 9.8 10.1 9.8 10 10.2 乙 10.1 9.6 10 10.4 9.7 9.9 10.3 則下列選項(xiàng)正確的是　　　 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A)　（B） (C) (D) 3．設(shè)一組數(shù)據(jù)的方差是，將這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘10，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A)0.1 (B) (C)10 (D)100 4．已知…，的方差為2，則2＋3, 2＋3，…,2＋3的標(biāo)準(zhǔn)差是___________ 5．某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時(shí)間記錄如下： 等待時(shí)間（分鐘） [0,5) 頻　　數(shù) 4 8 5 3 用上述分組資料計(jì)算得病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值=_______,病人等待時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值s=___________ 6．已知樣本99,100,101，x ,y的平均數(shù)是100，方差是2，則＝________ 7．（1）美國加利福尼亞州州長提出給所有的州政府雇員月薪增加70美元。這對(duì)于州政府雇員的平均月薪將會(huì)有何影響？對(duì)于月薪的標(biāo)準(zhǔn)差呢？ ?。?）整個(gè)政府部門的月薪遞增5%將對(duì)平均月薪有何影響？對(duì)于月薪的標(biāo)準(zhǔn)差呢？ 8．甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100mm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差； (2)根據(jù)計(jì)算說明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定。 拓展延伸 9．假定以下數(shù)據(jù)是甲、乙兩個(gè)供貨商的交貨天數(shù)： 甲 10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙 8 8 14 10 11 10 7 15 12 10 估計(jì)兩個(gè)供貨商的交貨情況，并問哪個(gè)供貨商交貨時(shí)間短一些，哪個(gè)供貨商交貨時(shí)間比較具有一致性與可靠性。 10．已知樣本90, 83, 86, 85, 83, 78, 74, 73, 71, 70的方差為 ，且關(guān)于的方程的兩根的平方和恰好是，求的值。