2019-2020年高一數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念知識點總結(jié) 新人教A版必修1.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念知識點總結(jié) 新人教A版必修1 第一章 集合與函數(shù)概念 一、集合有關(guān)概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性 說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。 (2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。 (3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列舉法與描述法和自然語言法。 注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法： 非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R 關(guān)于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 aA 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。 ①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分類： 1．有限集 含有有限個元素的集合 2．無限集 含有無限個元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系—子集 注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5) 實例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B ① 任何一個集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的運算 1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集． 記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集與補集 （1）補集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集） 記作： CSA 即 CSA ={x | xS且 xA} S CsA A （2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。 （3）性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函數(shù)的有關(guān)概念 1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域． 注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式． 定義域補充 能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. (又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。) 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備) (見課本21頁相關(guān)例2) 值域補充 (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。 3. 函數(shù)圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象． C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫法 A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)） 常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用： 1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。 發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。 4．快去了解區(qū)間的概念 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示． 5．什么叫做映射 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B” 給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點： 1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征． 注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值 補充一：分段函數(shù) （參見課本P24-25） 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． 補充二：復(fù)合函數(shù) 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7．函數(shù)單調(diào)性 （1）．增函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1下載提示(請認真閱讀)
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