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2019-2020年高中數(shù)學 2、1-7定積分的簡單應(yīng)用同步檢測 新人教版選修2-2 一、選擇題 1．如圖所示，陰影部分的面積為(　　) A.f(x)dx　　　　　　　 B.g(x)dx C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx [答案]　C [解析]　由題圖易知，當x∈[a，b]時，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為[f(x)－g(x)]dx. 2．如圖所示，陰影部分的面積是(　　) A．2 B．2－ C. D. [答案]　C [解析]　S＝－3(3－x2－2x)dx 即F(x)＝3x－x3－x2， 則F(1)＝3－1－＝， F(－3)＝－9－9＋9＝－9. ∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故應(yīng)選C. 3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是(　　) A.(x2－1)dx B．|(x2－1)dx| C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx [答案]　C [解析]　y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，故應(yīng)選C. 4．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線f(x)與直線x＝a，x＝b，y＝0圍成圖形的面積為(　　) A.f(x)dx B．|f(x)dx| C.|f(x)|dx D．以上都不對 [答案]　C [解析]　當f(x)在[a，b]上滿足f(x)<0時，f(x)dx<0，排除A；當陰影有在x軸上方也有在x軸下方時，f(x)dx是兩面積之差，排除B；無論什么情況C對，故應(yīng)選C. 5．曲線y＝1－x2與x軸所圍圖形的面積是(　　) A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D. [答案]　B [解析]　曲線與x軸的交點為， 故應(yīng)選B. 6．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t ＝0s到t＝3s時間段內(nèi)的位移是 (　　) A．31m　　　 B．36m　　　 C．38m　　　 D．40m [答案]　B [解析]　S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故應(yīng)選B. 7．(xx山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為(　　) A.　 　　 B.　　 　 C.　 　　 D. [答案]　A [解析]　由得交點為(0,0)，(1,1)． ∴S＝(x2－x3)dx＝＝. 8．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為(　　) A．8J　 　 　 B．10J　　　 C．12J　　　 D．14J [答案]　D [解析]　由變力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故應(yīng)選D. 9．若某產(chǎn)品一天內(nèi)的產(chǎn)量(單位：百件)是時間t的函數(shù)，若已知產(chǎn)量的變化率為a＝，那么從3小時到6小時期間內(nèi)的產(chǎn)量為(　　) A. B．3－ C．6＋3 D．6－3 [答案]　D [解析]　dt＝＝6－3，故應(yīng)選D. 10．過原點的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為a3，則直線l的方程為(　　) A．y＝ax B．y＝ax C．y＝－ax D．y＝－5ax [答案]　B [解析]　設(shè)直線l的方程為y＝kx， 由得交點坐標為(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2) 圖形面積S＝∫[kx－(x2－2ax)]dx ＝ ＝－＝＝a3 ∴k＝a，∴l(xiāng)的方程為y＝ax，故應(yīng)選B. 二、填空題 11．由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________． [答案]　18 [解析]　如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線交點的坐標，解方程組得交點坐標為(2，－2)，(8,4)． 因此所求圖形的面積S＝－2(y＋4－)dy 取F(y)＝y(tǒng)2＋4y－，則F′(y)＝y(tǒng)＋4－，從而S＝F(4)－F(－2)＝18. 12．一物體沿直線以v＝m/s的速度運動，該物體運動開始后10s內(nèi)所經(jīng)過的路程是________． 13．由兩條曲線y＝x2，y＝x2與直線y＝1圍成平面區(qū)域的面積是________． [答案]　 [解析]　如圖，y＝1與y＝x2交點A(1,1)，y＝1與y＝交點B(2,1)，由對稱性可知面積S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝. 14．一變速運動物體的運動速度v(t)＝ 則該物體在0≤t≤e時間段內(nèi)運動的路程為(速度單位：m/s，時間單位：s)______________________． [答案]　9－8ln2＋ [解析]　∵0≤t≤1時，v(t)＝2t，∴v(1)＝2； 又1≤t≤2時，v(t)＝at， ∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4； 又2≤t≤e時，v(t)＝， ∴v(2)＝＝4，∴b＝8. ∴路程為S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋ . 三、解答題 15．計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積． [解析]　由解得x＝0及x＝3. 從而所求圖形的面積 S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx ＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx ＝(－x2＋3x)dx ＝＝. 16．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表達式； (2)若直線x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值． [解析]　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b， 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有兩個相等實根． ∴判別式Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依題意有(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx， ∴＝ 即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t. ∴2t3－6t2＋6t－1＝0， ∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－ . 17．A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站開往B站，電車開出ts后到達途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到C點的速度達24m/s，從C點到B站前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)ts后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求： (1)A、C間的距離； (2)B、D間的距離； (3)電車從A站到B站所需的時間． [解析]　(1)設(shè)A到C經(jīng)過t1s， 由1.2t＝24得t1＝20(s)， 所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)． (2)設(shè)從D→B經(jīng)過t2s， 由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)， 所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)． (3)CD＝7200－2240＝6720(m)． 從C到D的時間為t3＝＝280(s)． 于是所求時間為20＋280＋20＝320(s)． 18．在曲線y＝x2(x≥0)上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求： (1)切點A的坐標； (2)過切點A的切線方程． [解析]　如圖所示，設(shè)切點A(x0，y0)，由y′＝2x，過A點的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x. 令y＝0得x＝，即C. 設(shè)由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S， S＝S曲邊△AOB－S△ABC. S曲邊△AOB＝∫x00x2dx＝x， S△ABC＝|BC||AB| ＝x＝x， 即S＝x－x＝x＝. 所以x0＝1，從而切點A(1,1)，切線方程為y＝2x－1.