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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線復(fù)習(xí)知識(shí)精講 理 蘇教版選修 2-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 圓錐曲線復(fù)習(xí) 二. 教學(xué)目標(biāo)： 1. 通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，能較準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 2. 通過本節(jié)教學(xué)能較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方 法――坐標(biāo)法； ［本周知識(shí)要點(diǎn)］ 一. 知識(shí)歸納： 名 稱 橢圓 雙曲線 圖 象 xOy x Oy 定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù) （大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng) 2﹥2 時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng) 2＝2 時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng) 2﹤2 時(shí)，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值 為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線 即 當(dāng) 2﹤2 時(shí)，軌跡是雙曲線 當(dāng) 2＝2 時(shí)，軌跡是兩條射線 當(dāng) 2﹥2 時(shí)，軌跡不存在 標(biāo)準(zhǔn) 方 程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪 一坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 常數(shù) 的關(guān) 系 ， ， 最大， ， 最大，可以 漸近 線 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 拋物線： 圖 形 x yOFlyl 方 程 焦 點(diǎn) 準(zhǔn) 線 （一）橢圓 1. 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程 （1）范圍：，橢圓落在組成的矩形中。 （2）對稱性:圖象關(guān)于 y 軸對稱。圖象關(guān)于 x 軸對稱。圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。原點(diǎn) 叫橢圓的對稱中心，簡稱中心。x 軸、y 軸叫橢圓的對稱軸。從橢圓的方程中直接可以 看出它的范圍，對稱的截距。 （3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) 橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：， 。加兩焦點(diǎn)共有六個(gè)特殊點(diǎn)。叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸。 長分別為。分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn)。 （4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。 。 。 橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特 例。橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在時(shí)的特例。 2. 橢圓的第二定義：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)， 那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率。 橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義方式 3. 橢圓的準(zhǔn)線方程 對于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線 對于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 cbacp222???（焦參數(shù)） （二）雙曲線的幾何性質(zhì)： 1. （1）范圍、對稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線 x＝－a,x＝a 之間沒有圖象，從縱的方向來看， 隨著 x 的增大，y 的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣 是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。 （2）頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長為 2a,a 叫做實(shí)半軸長。虛軸：長為 2b，b 叫做虛半軸長。 雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：e>1 雙曲線形狀與 e 的關(guān)系： 1222 ????eaccabk ，e 越大，即漸近 線的斜率的絕對值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線 的離心率越大，它的開口就越闊。 2. 等軸雙曲線 定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率。 3. 共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗伞? 4. 共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙 曲線。區(qū)別：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互換）c 相同。共用一對漸近線。雙曲線和它的共 軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將 1 變?yōu)椋?。 5. 雙曲線的第二定義：到定點(diǎn) F 的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲 線。其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線。常數(shù) e 是雙曲線的離心率。 6. 雙曲線的準(zhǔn)線方程： 對于來說，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線； 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)） 。 對于來說，相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線。 （三）拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因?yàn)?p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn) M 的坐標(biāo)（x，y）滿足不等式 x≥0，所以 這條拋物線在 y 軸的右側(cè)；當(dāng) x 的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方 無限延伸。 （2）對稱性 以－y 代 y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋 物線的軸。 （3）頂點(diǎn) 拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng) y＝0 時(shí)，x＝0，因此拋物線 的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。 （4）離心率 拋物線上的點(diǎn) M 與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用 e 表 示。由拋物線的定義可知，e＝1。 【典型例題】 例 1. 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程 （1）中心在原點(diǎn)、以對稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為 1/2、長軸長為 8； （2）和橢圓 9x2＋4y 2＝36 有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，－3） ； （3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，從一個(gè)焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長軸 上較近頂點(diǎn)的距離是。 分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點(diǎn)位置確定方程形式，其次是根據(jù) a2＝b 2＋c 2及已知條件確定 a2、b 2的值進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：（1）焦點(diǎn)位置可在 x 軸上，也可在 y 軸上 因此有兩解： 161y62????去 （2）焦點(diǎn)位置確定，且為（0， ） ，設(shè)原方程為,（a>b>0） ，由已知條件有 ???????14952ba，故方程為。 （3）設(shè)橢圓方程為,（a>b>0） 由題設(shè)條件有及 a2＝b 2＋c 2，解得 b＝ 故所求橢圓的方程是。 例 2. 直線與雙曲線相交于 A、B 兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B 在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何 值時(shí)，A、B 分別在雙曲線的兩支上？ 解：把代入 整理得：……（1） 當(dāng)時(shí)， 由>0 得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn) 若 A、B 在雙曲線的同一支，須>0，所以或。 故當(dāng)或時(shí)，A、B 兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B 兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。 例 3. 已知拋物線方程為（p>0） ，直線過拋物線的焦點(diǎn) F 且被拋物線截得的弦長為 3，求 p 的值。 解：設(shè)與拋物線交于 12(,),|3.xyAB?則 由距離公式|AB|＝ |y|2|y|k1)(- 21221 ?????? 則有 由 02yx，)1(2???? ????pxpy去去 .,.04211???? 從而 22214)y? 即 由于 p>0，解得 【模擬試題】 （答題時(shí)間：40 分鐘） 1. 是任意實(shí)數(shù)，則方程所表示的曲線不可能是（ ） A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 圓 2. 已知橢的一條準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A. 7 或－7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 3. 雙曲線的離心率，則的取值范圍為（ ） A. B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12） 4. 以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ） A. B. C. D. 5. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 6. 已知點(diǎn) A（－2，1） ，的焦點(diǎn)為 F，P 是的點(diǎn)，為使取得最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 7. 已知雙曲線的漸近線方程為，一條準(zhǔn)線方程為，則雙曲線方程為（ ） A. B. C. D. 8. 拋物線到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 9. 動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓與直線相切，則動(dòng)圓必過定點(diǎn)（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2） 10. 到定點(diǎn)（2，0）的距離與到定直線的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ____________________。 11.雙曲線的一條準(zhǔn)線是，則___________。 12. 已知點(diǎn)（－2，3）與拋物線的焦點(diǎn)距離是 5，____________。 13. 中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 F1（0， ）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的 方程。 14. 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過右焦點(diǎn) F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于 M、N 兩點(diǎn)，且＝4，求雙曲線方程。 【試題答案】 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. B 9. B 10. 11. － 12. 4 13. 分析：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理 及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由 F1（0， ）知，c＝， ，最后解關(guān)于 a、b 的方程 組即可。 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由 F1（0， ）得 把直線方程代入橢圓方程整理得： 0)4(2)9( 22 ?????abxba 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ， 又 AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 2196221??ba ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為： 14. 解：設(shè)所求雙曲線方程為（a>0，b>0） ，由右焦點(diǎn)為（2，0） 。知 c＝2，b 2＝4－a 2 則雙曲線方程為，設(shè)直線 MN 的方程為：，代入雙曲線方程整理得：（20－8a 2） x2＋12a 2x＋5a 4－32a 2＝0 設(shè) M（x 1,y1）,N（x 2,y2） ,則 ??2121453xN??????????? 480358022?????? aa 解得：， 故所求雙曲線方程為：