《高考數(shù)學專題復習導練測 第八章 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題課件 理 新人教A版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學專題復習導練測 第八章 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題課件 理 新人教A版.ppt（92頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

數(shù)學 A（理）,第八章 立體幾何,,高考專題突破四 高考中的立體幾何問題,考點自測,高考題型突破,練出高分,B,D,B,,,解析,設點A到平面PBC的距離為h. ∵D，E分別為PB，PC的中點，,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關系,解析,思維升華,思維點撥,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關系,解析,思維升華,思維點撥,(1)證明GH∥EF，只需證明EF∥平面PBC，只需證明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關系,解析,思維升華,思維點撥,證明 因為BC∥平面GEFH， BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC， 因此GH∥EF.,解析,思維升華,思維點撥,高考對該部分的考查重點是空間的平行關系和垂直關系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關系的基本定理在判斷線面位置關系中的應用．,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2 .點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥ 平面GEFH. (1)證明：GH∥EF；,題型一 空間點、線、面的位置 關系,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解析,思維升華,思維點撥,(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積．,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解 如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK. 因為PA＝PC，O是AC的中點， 所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)， 所以PO⊥底面ABCD.,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,又因為平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 從而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高． 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,所以GK＝3.,解析,思維升華,思維點撥,高考對該部分的考查重點是空間的平行關系和垂直關系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關系的基本定理在判斷線面位置關系中的應用．,解析,思維升華,思維點撥,(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的 面積．,跟蹤訓練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC， AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別 是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC；,,證明 由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點， 則EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，,跟蹤訓練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC， AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別 是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC；,,又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B， 因此平面EFG∥平面ABC.,(2)BC⊥SA.,,證明 由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB， 知AF⊥平面SBC，則AF⊥BC. 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，則BC⊥平面SAB， 又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,思維點撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關系不變．,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,證明 因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PD⊥AD. 又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點D， 所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD， 所以AD⊥CF，即MD⊥CF. 又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC. 其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M， 并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,,平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況．一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,思維點撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關系不變．,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,解 因為PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60，,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,例2 (2)求三棱錐M－CDE的體積．,,思維升華 平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況．一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．,跟蹤訓練2 已知四邊形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝ ，將△ABC沿著對角線AC折起來得到△AB1C且頂點B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示． (1)求證：平面AB1C⊥平面B1CD；,,證明 ∵B1O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴B1O⊥CD，,,又CD⊥AD，AD∩B1O＝O，∴CD⊥平面AB1D， 又AB1?平面AB1D，∴AB1⊥CD， 又AB1⊥B1C，且B1C∩CD＝C， ∴AB1⊥平面B1CD， 又AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面B1CD.,,(2)求三棱錐B1－ABC的體積 . 解 由于AB1⊥平面B1CD，B1D?平面ABCD， 所以AB1⊥B1D，,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關系中的存 在性問題,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關系中的存 在性問題,先證明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線BC⊥平面ACC1A1；,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關系中的存 在性問題,證明 因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線， 所以AA1⊥平面ABC.,解析,思維點撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明： 直線BC⊥平面ACC1A1；,題型三 線面位置關系中的存 在性問題,因為直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1和AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交的直線，所以BC⊥平面ACC1A1.,解析,思維點撥,思維點撥,思維升華,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,思維點撥,思維升華,解析,取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,解 取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設點O為A1C，AC1的交點． 由已知，點O 為AC1的中點．,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，,思維點撥,思維升華,解析,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO. 因為直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.,思維點撥,思維升華,解析,對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在這假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設．,(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,,證明 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D， ∵DC＝DD1，∴四邊形DCC1D1是正方形， ∴DC1⊥D1C.,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,,又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C?平面DCC1D1，,跟蹤訓練3 如圖，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB， AD⊥DC，AB∥DC. (1)求證：D1C⊥AC1；,∴AD⊥D1C. ∵AD?平面ADC1，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D， ∴D1C⊥平面ADC1， 又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.,,解 假設存在點E，使D1E∥平面A1BD. 連接AD1，AE，D1E， 設AD1∩A1D＝M， BD∩AE＝N，連接MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，,(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E∥平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由．,,要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E， 又M是AD1的中點，則N是AE的中點． 又易知△ABN≌△EDN， ∴AB＝DE. 即E是DC的中點． 綜上所述，當E是DC的中點時， 可使D1E∥平面A1BD.,思維點撥,思維升華,題型四 空間向量與立體幾何,解析,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,可以B為原點，建立空間直角坐標系，用向量法．,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,方法一 (1)證明 如圖(1)，過E作EO⊥BC，垂足為O，連接OF. 由題意得△ABC≌△DBC，可證出△EOC≌△FOC. 即FO⊥BC. 又EO⊥BC，EO∩FO＝O，因此BC⊥平面EFO. 又EF?平面EFO，所以EF⊥BC.,(1),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,(2)解 如圖(1)，過O作OG⊥BF，垂足為G，連接EG. 由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC. 又OG⊥BF，EO⊥BF，所以BF⊥平面EGO， 所以EG⊥BF. 因此∠EGO為二面角E－BF－C的平面角．,(1),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,方法二 (1)證明 由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖(2) 所示的空間直角坐標系，,(2),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,(2)解 如圖(2)，平面BFC的一個法向量為n1＝(0,0,1)． 設平面BEF的法向量為n2＝(x，y，z)，,(2),思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,思維點撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值．,用向量法解決立體幾何問 題，可使復雜問題簡單化，使推理論證變?yōu)橛嬎闱蠼?，降低思維難度使立體幾何 問題“公式”化，訓練的 關鍵在于“歸類、尋法”．,思維點撥,思維升華,解析,跟蹤訓練4 在如圖所示的幾何體中，底面ABCD 為菱形，∠BAD＝60，AA1綊DD1綊CC1∥BE， 且AA1＝AB，D1E⊥平面D1AC，AA1⊥底面ABCD. (1)求二面角D1－AC－E的大??；,,解 設AC與BD交于點O，如圖所示建立空間直 角坐標系O－xyz，設AB＝2，,,∵D1E⊥面D1AC，∴D1E⊥CA，D1E⊥D1A，,,設平面EAC的法向量為m＝(x，y，z)，,令z＝1，y＝3，m＝(0,3,1)．,,所以所求二面角的大小為45.,,解 假設存在點P滿足題意．,,故存在點P使A1P∥面EAC，此時D1P∶PE＝3∶2.,1.(2014重慶)某幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的表面積為( ) A.54 B.60 C.66 D.72 解析 由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為 直角三角形，由正視圖和側視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,在長方體中分析還原，如圖(1)所示， 故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,答案 B,,,2,3,4,5,6,7,8,,1,2.已知m，n分別是兩條不重合的直線，a，b分別垂直于兩不重合平面α，β，有以下四個命題： ①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，則m∥n； ②若m∥a，n∥b，且α⊥β，則m⊥n； ③若m∥α，n∥b，且α∥β，則m⊥n； ④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，則m∥n. 其中正確的命題是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③,,,3,4,5,6,7,,8,1,2,解析 對于①，b⊥β，n∥b，∴n⊥β，∵m⊥α，且α⊥β，∴m⊥n，∴①錯誤；對于②，∵a，b分別垂直于兩不重合平面α，β，α⊥β，∴a⊥b，∵m∥a，n∥b，∴m⊥n，∴②正確；對于③，∵n∥b，b⊥β，∴n⊥β，∵m∥α，α∥β，∴m⊥n，∴③正確；對于④，∵m⊥α，b⊥β，α⊥β，∴m⊥b，∵n⊥b，∴m∥n或m⊥n或m，n相交，∴④不正確.所以②③正確. 答案 D,,,3,4,5,6,7,,8,1,2,3.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論： ①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC； ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折過程中，可能成立的結論是________.(填寫結論序號),,,4,5,6,7,,8,1,2,3,解析 因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立； 設點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使條 件滿足，所以②正確；當點P落在BF上時， DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF， 所以③正確；,,,4,5,6,7,,8,1,2,3,因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯誤.故答案為②③. 答案 ②③,,,4,5,6,7,,8,1,2,3,4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E 是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當 ＝______時，D1E⊥平面AB1F. 解析 如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面 ABB1A1內(nèi)的射影. ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 又∵D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.,,,5,6,7,,8,1,2,3,4,連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影， ∴D1E⊥AF?DE⊥AF. ∵ABCD是正方形，E是BC的中點， ∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF， 即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F，,答案 1,,,5,6,7,,8,1,2,3,4,5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G， H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； 證明 ∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點共面.,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,(2)平面EFA1∥平面BCHG.,證明 ∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G與EB平行且相等， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.,,,6,7,,8,1,2,3,4,5,6.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， E是棱DD1的中點.在棱C1D1上是否存在一點F， 使B1F∥平面A1BE？并證明你的結論. 解 在棱C1D1上存在點F，使B1F∥平面A1BE. 因為平面ABB1A1∥平面DCC1D1，所以A1B與 平面A1EB和平面DCC1D1的交線平行， 如圖所示，,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,取CD的中點G，連接EG，BG， 則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線. 取C1D1的中點F，CC1的中點H， 連接HF，B1F，B1H. 因為HF∥EG， 所以HF∥平面A1EB.,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,因為A1B1∥C1D1∥HE，所以A1，B1，H，E四點共面， 又平面BB1C1C∥平面AA1D1D， 所以B1H∥A1E，從而B1H∥平面A1EB， 因為B1H∩HF＝H， 所以平面B1HF∥平面A1EB， 所以B1F∥平面A1EB.,,,7,,8,1,2,3,4,5,6,7.(2014福建)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD ＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示. (1)求證：AB⊥CD； 證明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面 BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值. 解 過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD，如圖. 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD， BD?平面BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,設平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,取z0＝1，得平面MBC的一個法向量n＝(1，－1,1). 設直線AD與平面MBC所成角為θ，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,8.如圖所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角 梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ AE＝2， O，M分別為CE，AB的中點. (1)求證：OD∥平面ABC；,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,證明 取AC中點F，連接OF，F(xiàn)B. ∵F是AC中點，O為CE中點，,∴四邊形BDOF是平行四邊形，∴OD∥FB. 又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC， ∴OD∥平面ABC.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值； 解 ∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，且BD⊥BA， ∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,如圖所示，以C為原點，分別以CA，CB所在直 線為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線 為z軸，建立空間直角坐標系. ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)， D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,設平面ODM的法向量為n＝(x，y，z)，,令x＝2，得y＝1，z＝1.∴n＝(2,1,1). 設直線CD和平面ODM所成角為θ，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,(3)能否在EM上找一點N，使得ON⊥平面ABDE？ 若能，請指出點N的位置，并加以證明； 若不能，請說明理由. 解 當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE. 方法一 取EM中點N，連接ON，CM， ∵AC＝BC，M為AB中點，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,∴CM⊥AB. 又∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CM?平面ABC，∴CM⊥平面ABDE. ∵N是EM中點，O為CE中點， ∴ON∥CM，∴ON⊥平面ABDE.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,方法二 由(2)設N(a，b，c)，,即(a－2，b－2，c)＝λ(4－a，－b,4－c)，,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,∴當N是EM的中點時，ON⊥平面ABDE.,,,,8,1,2,3,4,5,6,7,