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專題一,函數(shù)與導數(shù),題型 1,函數(shù)中的方程思想,函數(shù)與方程是高考的重要題型之一，一方面可以利用數(shù)形 結(jié)合考查方程根的分布；另一方面可以與導數(shù)相結(jié)合，考查方 程解的情況．,【名師點評】(1)求 f(x)的值域可以利用導數(shù)，也可以利用,基本不等式求解．,(2)若對任意 x1∈[0,2]，總存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)＝g(x2)的,本質(zhì)就是函數(shù) f(x)的值域是函數(shù) g(x)值域的子集．,【互動探究】,解：(1)由題意，得f′(x)＝x2＋2x＋a. 方程x2＋2x＋a＝0的判別式為Δ＝4－4a. 當a≥1時，Δ≤0，則f′(x)≥0恒成立，,題型 2,函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合問題,數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題 簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助 于把握數(shù)學問題的本質(zhì)．它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié) 合．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解 決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的 重點是研究“以形助數(shù)”．,例 2：已知函數(shù) f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；,(2)若 f(x)在 x＝－1 處取得極值，直線 y＝m 與 y＝f(x)的圖,象有三個不同的交點，求 m 的取值范圍．,(2)因為 f(x)在 x＝－1 處取得極大值，,所以 f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，即 a＝1. 所以 f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由 f′(x)＝0，解得 x1＝－1，x2＝1. 由(1)中 f(x)的單調(diào)性知，,f(x)在 x＝－1 處取得極大值 f(－1)＝1， 在 x＝1 處取得極小值 f(1)＝－3.,圖 1-1,如圖 1-1，若直線 y＝m 與函數(shù) y＝f(x)的圖象有三個不同的,交點，則－3m1.,結(jié)合 f(x)的單調(diào)性知，m 的取值范圍是(－3,1)．,【名師點評】可以繼續(xù)探討：①直線 y＝m 與 y＝f(x)的圖 象有一個交點，則 m 的取值范圍為(－∞，－3)∪(1，＋∞)； ②直線 y＝m 與 y＝f(x)的圖象有兩個不同交點，則 m 的取,值范圍為{－3,1}．,【互動探究】,(1)求函數(shù) y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；,(2)若函數(shù) y＝f(x)的圖象與直線 y＝1 恰有兩個交點，求 a,的取值范圍．,解：(1)f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a)， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2a，x2＝0，x3＝a.,當 a0 時，f′(x)在 f′(x)＝0 根的左右的符號如下表：,所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2a,0)和(a，＋∞)，,圖D10,圖 1-2,(2)請結(jié)合例 2 一起學習，例 2 中函數(shù)圖象確定，直線y＝m 在動(變化)；而本題中直線 y＝1 確定，函數(shù)圖象在動(變化)， 數(shù)形結(jié)合中蘊含運動變化的思想．,題型3,函數(shù)中的分類討論,分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時， 就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得 出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答．實 質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù) 學策略．縱觀每年全國各地的高考試題，幾乎所有的壓軸題都 與分類討論有關(guān)．,例 3：(2012 年廣東)設(shè) 00}，B＝{x,∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a0}，D＝A∩B.,(1)求集合 D(用區(qū)間表示)；,(2)求函數(shù) f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax 在 D 內(nèi)的極值點．,所以 f′(x)，f(x)隨 x 的變化情況如下表：,所以 f(x)的極大值點為 x＝a，沒有極小值點．,【名師點評】本題的實質(zhì)是解含參數(shù)的一元二次不等式，,一般分以下幾種情況討論：,①根據(jù)二次項系數(shù)討論(大于 0，小于 0，等于 0)； ②根據(jù)根的判別式討論(Δ0，Δ＝0，Δx2，x1＝x2，x1x2)．,【互動探究】 3．(2013 年廣東廣州一模)已知函數(shù) f(x)＝x2－2alnx(a∈R， 且 a≠0)． (1)若 f(x)在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； (2)求函數(shù) f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值．,