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第6講,不等式選講,1．理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾,何意義證明以下不等式：,(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；,(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；,(3)會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a.,2．了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何 意義，并會證明．,3．會用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形：,4．會用向量遞歸方法討論排序不等式． 5．了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法 證明一些簡單問題． 6．會用數(shù)學歸納法證明伯努利不等式：,(1＋x)n1＋nx,(x－1，x≠0，n 為大于 1 的正整數(shù))，了,解當 n 為大于 1 的實數(shù)時伯努利不等式也成立．,7．會用上述不等式證明一些簡單問題．能夠利用平均值不,等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.,8．了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、,反證法、縮放法．,1．常用的證明不等式的方法,(1)比較法：比較法包括作差比較法和作商比較法．,(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與 幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導出所要證明的不等式． (3)分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)， 分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定 這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都 已具備，那么就可以斷定原不等式成立．,(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式 AB，先假設(shè) A≤B，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定 AB.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時，可以考慮用反 證法．,(5)放縮法：要證明不等式 AB 成立，借助一個或多個中間 變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法．,2．絕對值不等式,(1)含絕對值不等式的解法：,設(shè) a0，|f(x)|a?f(x)a. (2)理解絕對值的幾何意義： |a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|.,D,1．用反證法證明時：其中的結(jié)論“ab”，應(yīng)假設(shè)為(,),A．a(chǎn)b,B．a(chǎn)b,C．a(chǎn)＝b,D．a(chǎn)≤b,2．若關(guān)于 x 的不等式|x－a|1 的解集為(1,3)，則實數(shù) a 的 值為( ),A．2,B．1,C．－1,D．－2,3．不等式|2x－3|1 的解集為_______________________．,(－∞，1)∪(2，＋∞),A,4．(2014年廣東韶關(guān)調(diào)研)不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集,是______________.,[1，＋∞),5．(2013年江西)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式||x－2|－1|≤1 的解,集為________．,[0,4],考點 1,比較法證明不等式,例1：(2013 年江蘇)已知a≥b0，求證：2a3－b3≥2ab2－ a2b.,證明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，,【規(guī)律方法】比較法證不等式的步驟可歸納為： ①作差并化簡，其化簡目標應(yīng)是 n 個因式之積或完全 平方式或常數(shù)的形式. ②判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進行討論. ③得出結(jié)論.,又∵a≥b0，∴a＋b0，a－b≥0,2a＋b0， ∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0. ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.,考點2,綜合法證明不等式,例2：(2013年新課標Ⅱ)設(shè) a，b，c 均為正實數(shù)，且 a＋b ＋c＝1，證明：,【規(guī)律方法】分析法證明不等式，就是“執(zhí)果索因”，從 所證的不等式出發(fā)，不斷用充分條件代替前面的不等式，直至 使不等式成立的條件已具備，就斷定原不等式成立.當證題不知 從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別對于條件,簡單而結(jié)論復雜的題目往往是行之有效的方法,用分析法論證 “若 A，則 B”這個命題的模式是：欲證命題 B 為真，只需證 明命題B1 為真，從而又只需證明命題 B2 為真，從而又…只需 證明命題A 為真，今已知A 真，故B 必真.簡寫為：B?B1?B2…? Bn?A.,考點3,分析法證明不等式,【規(guī)律方法】極坐標方程與參數(shù)方程之間不能直接互化， 必需以普通方程為橋梁，即將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn) 化為參數(shù)方程，或?qū)?shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為極坐標 方程，要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．,考點4 利用放縮法證明不等式時應(yīng)把握好度,【規(guī)律方法】要證AB，可適當選擇一個C，使得C≥B，反之亦然.主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時的證明.一般的放縮技巧有： ①分式放縮：固定分子，放縮分母；固定分母，放縮分子.多見于分式類不等式的證明； ②添舍放縮：視情況丟掉或增多一些項進行放縮，多見于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明.,考點5,解絕對值不等式,例5：已知函數(shù) f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)若關(guān)于 x 的不等式 f(x)a 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍． 思維點撥：(1)只要分區(qū)去掉絕對值，即轉(zhuǎn)化為普通的一次 不等式，最后把各個區(qū)間內(nèi)的解集合并即可；(2)問題等價于 f(x)max，可以利用不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|.,考點6,不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|的應(yīng)用,例6：(1)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a 對任意實數(shù) x 恒成立，,則實數(shù) a 的取值范圍為( A．[－1,4] C．[－2,5],) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞),解析：由絕對值的幾何意義易知，|x＋3|＋|x－1|的最小值 為4， 所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a 對任意實數(shù) x 恒成立， 只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：A,(2)若關(guān)于 x 的不等式|x－3|－|x－4|a 的解集不是空集，則 實數(shù) a 的取值范圍是__________． 解析：設(shè) y＝|x－3|－|x－4|， －1，x≤3，,則 y＝ 2x－7，3x4，,圖象如圖6-6-1.,1，x≥4. 圖6-6-1,,由圖象，可知：－1≤y≤1，,∴當 a－1 時，不等式的解集不是空集． 答案：(－1，＋∞),【規(guī)律方法】對于比較復雜的含絕對值不等式的問題，若 用常規(guī)解法需分類討論，去掉絕對值符號，解法繁瑣，而靈活 運用絕對值的幾何意義，往往能簡便、巧妙地將問題解決.,【互動探究】 1．若不等式|x－4|＋|x－3|a 的解集為非空集合，則實數(shù) a,),的取值范圍是( A．a(chǎn)7 C．a(chǎn)1,B．1a7 D．a(chǎn)≥1,解析：由題意，得a(|x－4|＋|x－3|)min，|x－4|＋|x－3|≥|x －4－x＋3|，即a1.,C,2．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1 對任意實數(shù) x 恒成立，則實,數(shù) a 的取值范圍為_______________.,a≥3 或 a≤1,解析：設(shè)y＝|x－a|＋|x－2|，則 ymin＝|a－2|，因為不等式|x －a|＋|x－2|≥1 對?x∈R 恒成立， 所以|a－2|≥1，解得a≥3，或 a≤1.,3．(2015年廣東廣州一模)已知 a 為實數(shù)，則|a|≥1 是關(guān)于,x 的絕對值不等式|x|＋|x－1|≤a 有解的(,),B,A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件,