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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 第7章《數(shù)列》學(xué)案（1） 滬教版 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1．設(shè)數(shù)列｛an｝的首項a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2（n∈N），則a1＋a2＋…… ＋a17＝ 153 . 2．設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若＝，則＝( A ) （A） （B） （C） （D） 3．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且 ，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項和等于（　C?。? （A）55　　　　 （B）70　　　　　（C）85　　　　?。―）100 4．在等比數(shù)列中，，前項和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ C ） (A) (B) (C) (D) 5. 若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列{an}的四組量中：①S1與S2； ②a2與S3； ③a1與an； ④q與an． 其中一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 ①④ 組．(寫出所有符合要求的組號) 6．設(shè)數(shù)列{an}的首項，且，記． （I）求a2，a3； （II）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （III）（理）求． 【專家解答】 （I）a2＝a1+= a+，a3=a2 =a+； （II）∵ a4 = a3+=a+， ∴ a5=a4=a+， 所以b1=a1－=a－， b2=a3－= (a－)， b3=a5－= (a－)， 猜想：{bn}是公比為的等比數(shù)列．證明如下： 因為bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn， (n∈N*) 所以{bn}是首項為a－， 公比為的等比數(shù)列 （III）（理）． ★★★高考要考什么 【考點透視】 本專題主要涉及等差（比）數(shù)列的定義、通項公式、前n項和及其性質(zhì)，數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列的各項和． 【熱點透析】 高考對本專題考查比較全面、深刻，每年都不遺漏．其中小題主要考查 間相互關(guān)系，呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點；大題中往往把等差（比）數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式，解析幾何 等知識結(jié)合，考查基礎(chǔ)知識、思想方法的運用，對思維能力要求較高，注重試題的綜合性，注意分類討論． ★★★突破重難點 【范例1】已知等差數(shù)列前三項為a，4，3a，前n項和為Sn，Sk = 2550． (Ⅰ) 求a及k的值； (Ⅱ) 求(…)． 解析（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝，則a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550． 由已知得a＋3a = 24， 解得a1 = a = 2，公差d = a2－a1= 2． 由得 ，解得 k = 50． ∴ a = 2，k = 50． （Ⅱ）由得Sn= n (n＋1)， ∴ ， ∴ ． 【點睛】錯位相減法、裂項相消法等等是常用的數(shù)列求和方法． 【文】是等差數(shù)列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，求數(shù)列的通項． 解析 由已知得， 即 ， 解得或 或 經(jīng)驗證 或 均滿足題意，即為所求． 【點睛】若是等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．本題是以此背景設(shè)計此題． 【范例2】已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an . 解析 ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)． 當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3; 當(dāng)a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3． 【點睛】求數(shù)列的通項公式是數(shù)列的基本問題，一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項，破解方法：猜想證明法或構(gòu)造法。 【文】已知等比數(shù)列的前項和為，且． （1）求、的值及數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和． 解析 （1）當(dāng)時，． 而為等比數(shù)列，得，即，從而． 又． （2）， 兩式相減得， 因此，． 【范例3】下表給出一個“三角形數(shù)陣”： ， ，， … … … … 已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數(shù)為aij ( i≥j， i， j∈N*)． (1) 求a83； (2) 試寫出a ij關(guān)于i， j的表達式； (3) 記第n行的和為An，求 解析 （1）由題知成等差數(shù)列，且，所以公差。 又成等比數(shù)列，且．又公比都相等，∴每行的公比是． ∴．　 （2）由（1）知，，∴．　 （3）． 【點睛】在新穎背景——數(shù)表中運用數(shù)列知識． 【文】在等比數(shù)列{a n}中，前n項和為Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列，則am， am+2， am+1成等差數(shù)列 （1）寫出這個命題的逆命題；（2）判斷逆命題是否為真，并給出證明 解析（１）逆命題：在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若am， am+2， am+1成等差數(shù)列，則 Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列 （２）設(shè){an}的首項為a1，公比為q. 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 ，∴2q2－q－1=0 ， ∴q=1或q=－ 當(dāng)q=1時，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1， ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差數(shù)列 當(dāng)q=－時， ， ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列 綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假；當(dāng)公比q≠1時，逆命題為真 【點睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點和靈活之處． 【范例4】已知數(shù)列在直線x-y+1=0上． （1） 求數(shù)列{an}的通項公式； （2）若函數(shù) 求函數(shù)f (n)的最小值； (3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項和． 試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n)， 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明;若不存在，說明理由． 解析 （1）在直線x-y+1=0上　　　 　 （2） ， ， ． （3）， ． …………………………………… 故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立． 【點睛】點在直線上的充要條件是點的坐標(biāo)滿足直線的方程，即得遞推式．第（3）小題的探索性設(shè)問也是本題的升華． 【變式】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，． （Ⅰ）當(dāng)時，請在數(shù)列中找一項，使得成等比數(shù)列； （Ⅱ）當(dāng)時，若滿足， 使得是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式． 解析（Ⅰ）設(shè)公差為，則由，得 ∵成等比數(shù)列，∴ 解得．故成等比數(shù)列． （Ⅱ），∴，故． 又是等比數(shù)列， 則，∴， 又，∴，∴ 【點睛】等差數(shù)列中尋找等比子數(shù)列是數(shù)列的重要內(nèi)容． ★★★自我提升 1．在等差數(shù)列中，，則（ A ） （A） （B） （C） （D）-1或1 2．（理）已知數(shù)列的值為（ C ） （A） （B） （C）1 （D）－2 （文）直角三角形三邊成等比數(shù)列，公比為，則的值為（ D ） （A） （B） （C） （D） 3．設(shè){a n}為等差數(shù)列，a 1>0 ，a 6+ a 7>0， a6 a 7<0，則使其前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是（ B ） （A）11 （B）12 （C）13 （D）14 4．三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是（ D ） （A） （B） （C） （D） 5．令a n為的展開式中含xn項的系數(shù)，則數(shù)列{a n}的前n項和為__________． 6．這是一個計算機程序的操作說明： （1）初始值為x=1，y=1，z=0，n=0； （2）n＝n+1（將當(dāng)前n+1的值賦予新的n） （3）x = x+2（將當(dāng)前的x=2的值賦予新的x） （4）y =2 y （將當(dāng)前2y的值賦予新的y） （5）z = z + x y（將當(dāng)前z+xy的值賦予新的z） （6）如果z>7000，則執(zhí)行語句（7），否則回語句（2）繼續(xù)進行； （7）打印n，z； （8）程序終止． 由語句（7）打印出的數(shù)值為　　　n=8，z=7682?。? 7．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上． （Ⅰ） 求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ） 設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m； 解析 （Ⅰ）設(shè)二次函數(shù)f (x)＝ax2+bx (a≠0)，則=2ax+b，又=6x－2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x2－2x． 又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n． 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5． 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）． 因此，要使（1－）<（）恒成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10． 【文】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列｛an｝的通項公式； (Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項公式. 解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20. 因此，{an}的通項公式是an=22－2n,n=1,2,3… （Ⅱ）由得即 由①+②得－7d＜11。即d＞－. 由①+③得13d≤－1，即d≤－. 于是－＜d≤－， 又d∈Z,故d=－1，將④代入①②得10＜a1≤12. 又a1∈Z, 故a1=11或a1=12. 所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,… 8．（理）數(shù)列{}的前項和滿足： （1）求數(shù)列{}的通項公式； （2）數(shù)列{}中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由． 解析：（1）當(dāng)時有： 兩式相減得： ∴數(shù)列{}是首項6，公比為2的等比數(shù)列． 從而 （2）假設(shè)數(shù)列{}中存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列， 因此只能是， 即 、、均為正整數(shù)， ∴（*）式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立。 因此數(shù)列{}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項。 【文】在等差數(shù)列中，，前項和滿足， （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）記，求數(shù)列的前項和． 解析（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得， 所以，即，所以． （Ⅱ）由，得．故， 當(dāng)時，； 當(dāng)時，， 即．