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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3微積分同步精練 北師大版選修3-1 1．17世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)史上發(fā)生了一件具有劃時代意義的重大事件，那就是________的誕生．(　　) A．函數(shù) B．微積分 C．解析幾何 D．極限思想 2．歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)是(　　) A．牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》 B．牛頓的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》 C．牛頓的《流數(shù)簡論》 D．萊布尼茨的《一種求極大值極小值和切線的新方法》 3．微分學(xué)中的符號dx，dy等，積分符號∫的創(chuàng)立者是(　　) A．萊布尼茨 B．阿基米德 C．高斯 D．牛頓 4．十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第________次數(shù)學(xué)危機(jī)．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 5．設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)R(t)．若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑(　　) A．成正比，比例系數(shù)為c B．成正比，比例系數(shù)為2c C．成反比，比例系數(shù)為c D．成反比，比例系數(shù)為2c 6．函數(shù)f(x)＝的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A. B．1 C．2 D. 7．促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題主要有______________，_____________，______________，_______________四類問題． 8．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝____________；＝________.(用數(shù)字作答) 9．向高為8 m，底面邊長為8 m的倒置正四棱錐形的容器內(nèi)注水，其速度為每分鐘m3，則當(dāng)水深為5 m時，水面上升的速度為________m/min. 10．利用定積分的幾何意義計(jì)算： (1)； (2). 11．結(jié)合史料，談?wù)劙⒒椎聦τ谖⒎e分的創(chuàng)立起到了什么樣的重要作用． 12．牛頓1666年寫了《流數(shù)簡論》之后，始終不渝地努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？哪篇是牛頓最成熟的微積分著述？為什么？ 13．為什么說在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？  參考答案 1．答案：B 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：B 5．答案：D　解析：∵V(t)＝πR3(t)， ∴c＝V′(t)＝4πR2(t)R′(t)． ∴R′(t)＝. ∵S(t)＝4πR2(t)， ∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)＝. 6．答案：A　解析：如圖，根據(jù)定積分的幾何意義可得所求的封閉圖形的面積： S＝11＋＝＋ ＝. 7．答案：瞬時速度問題　切線問題　函數(shù)的最值問題　面積、體積、曲線長、重心和引力的計(jì)算 8．答案：2?。?　解析：∵f(x)＝ ∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2. 又根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知＝f′(1)＝－2. 9．答案：　解析：設(shè)t分鐘時，水深為h米，則由體積相等，得， 所以h＝，h′(t)＝， 當(dāng)h＝5時，t＝， 所以v＝h′(t)|t＝(m/min)． 10．解：(1)如圖①，等于圖中陰影部分的面積，∴＝22＝2π. (2)如圖②，等于圖中陰影部分的面積和，其中，在x軸下方的面積為負(fù)， ∴＝0. 11．答：在十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在許多數(shù)學(xué)家所做的大量準(zhǔn)備工作的基礎(chǔ)上，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分．但微積分的原理，卻可以追溯到古希臘人阿基米德所建立的確定面積和體積的方法．遠(yuǎn)在阿基米德那個時代(公元前二百多年)，沒有解析幾何，甚至連發(fā)達(dá)的字母符號也沒有，可是幾何學(xué)在古希臘已經(jīng)達(dá)到了驚人的繁榮．直到今天，在初等的幾何學(xué)中我們還很難再添加多少新的東西．正是在這種歷史條件下，阿基米德率先推導(dǎo)出了球、圓錐的體積公式，以及拋物線的弓形面積公式，他所采用的無窮小量求和的方法已經(jīng)接近于積分演算．后人在介紹阿基米德這種方法的時候，又用現(xiàn)代的符號和術(shù)語進(jìn)行了加工．下面以阿基米德推導(dǎo)拋物線的弓形面積公式為例，介紹他采用的無窮小量求和的方法．設(shè)有一拋物線f(x)，求其與橫軸x及直線x＝p(p＞0)所圍的面積，即曲邊三角形OPM(如下圖陰影部分)的面積S.阿基米德是這樣想的：設(shè)OP＝1，將OP分成n等份．曲邊三角形OPM被分割成n個帶狀面積元，這些面積元可近似地看成矩形，各條“帶子”的寬度是1/n，第k條帶子的高是x＝處拋物線的縱坐標(biāo)．所以第k條帶子的面積是，各條矩形帶子的面積和S是曲邊三角形OPM的近似面積，當(dāng)n→∞時就得到曲邊三角形OPM的精確面積S.曲邊三角形OPM的面積求出后，再求拋物線弓形面積就十分容易了．正是這種分解為無窮多個無窮小量之和的方法，在兩千年后發(fā)展成為積分學(xué)．阿基米德當(dāng)時也曾預(yù)言：“我認(rèn)為在現(xiàn)在或未來的研究者中，總會有人會利用這里所提出的方法獲得我還不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一種歷史條件下獲得了新的發(fā)展和新的形式，牛頓、萊布尼茨建立了更加一般的方法，并且給了一個恰當(dāng)?shù)拿~：積分． 12．答：這三篇論文是(1)《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析》，簡稱《分析學(xué)》；(2)《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，簡稱《流數(shù)法》；(3)《曲線求積術(shù)》，簡稱《求積術(shù)》． 《曲線求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述．因?yàn)榕ｎD在其中改變了對無限小量的依賴并批評自己過去那種隨意忽略無限小量的做法：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略．……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動來描述的．”在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)的概念之后，牛頓寫道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時間間隔內(nèi)生成的流量的增量比．確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比．”牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時獲得的最終比．所謂“首末比方法”相當(dāng)于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)．牛頓在《曲線求積術(shù)》中還第一次引進(jìn)了后來被普遍采用的流數(shù)記號． 13．答：牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人．他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相關(guān)的問題歸結(jié)為反切線(微分)運(yùn)算．應(yīng)該說，微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個自然科學(xué)帶來革命性的影響，主要是靠牛頓與萊布尼茨的工作．在科學(xué)史上，重大的真理往往在條件成熟的一定時期由不同的探索者相互獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)，微積分的創(chuàng)立，情形也是如此．經(jīng)過調(diào)查，特別是對萊布尼茨手稿的分析，證實(shí)兩人確實(shí)是相互獨(dú)立地完成了微積分的發(fā)明．就發(fā)明時間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時間而言，萊布尼茨則先于牛頓．從而，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當(dāng)?shù)?，故二者需共享榮譽(yù)．