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2019-2020 年高中數(shù)學 圓錐曲線章節(jié)復習知識精講 文 人教版第二冊 【本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 圓錐曲線章節(jié)復習 二. 重點、難點： 1. 重點： 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì) 2. 難點： 直線和圓錐曲線的位置關系、最值問題、幾何性質(zhì)的應用 三. 知識結構： 【典型例題】 [例 1] 已知，試討論當?shù)闹底兓瘯r，方程表示曲線的形狀。 解： （1）當時，方程為，即，表示兩條平行于軸的直線。 （2）當時， ，方程可化為 1cossin1 22???yx ，表示焦點在軸上的橢圓。 （3）當時，方程為，表示圓心在原點，半徑為的圓。 （4）當時， ，方程表示焦點在軸上的橢圓。 （5）當時，方程化為，表示兩條平行于軸的直線。 （6）當時， ， ，方程表示焦點在軸上的雙曲線。 [例 2] 已知雙曲線的中心在原點，焦點、在坐標軸上，一條漸近線方程為，且過點（4， ） 。 （1）求雙曲線方程； （2）若點 M（3， ）在此雙曲線上，求； （3）求的面積。 解： （1）由題意知，雙曲線的方程是標準方程 ∵ 雙曲線的一條漸近線方程為 ∴ 設雙曲線方程為 把點（4， ）代入雙曲線方程得， ∴ 所求雙曲線方程為 （2）由（1）知雙曲線方程為 ∴ 雙曲線的焦點為、 ∵ M 點在雙曲線上 ∴ ， ∴ 2221 )3(),32(),3( mmF ???????? （3）∵ ∴ ∴ 為直角三角形 ∵ 14)((221 ?? 3124)(32(22?????mMF ∴ 6121 ?????FS [例 3] 已知拋物線的焦點為 A，以 B（）為圓心，長為半徑，在軸上方的半圓交拋物線于 不同的兩點 M、N，P 是 MN 的中點。 （1）求的值； （2）是否存在這樣的值，使、 、成等差數(shù)列？ 解：如下圖，A（） ∵ ∴ 圓的方程為 與聯(lián)立得 08)4(22????axax ∴ 2??? 解得 設 則， ∴ 8221 aaxANM （2）設 P（） ，則， ∴ ∴ aaxx 828211 ????? ∴ ),4(2a?? 若、成等差數(shù)列，則 ∴ 168()2 ? 解得，這與矛盾 故不存在，使成等差數(shù)列 [例 4] 已知雙曲線與點 P（1，2） ，過 P 點作直線與雙曲線交于 A、B 兩點，若 P 為 AB 的中 點。 （1）求直線 AB 的方程； （2）若 Q（1，1） ，證明：不存在以 Q 為中點的弦。 方法一：（1）解：設過 P（1，2）點的直線為，代入雙曲線方程 得 0)64()()(2 ?????kxkxk 由線段 AB 中點為 P（1，2） ∴ 解得，又時，使 從而直線 AB 方程為 （2）證明：按同樣方法求得，而使，所以直線 CD 不存在 方法二：設 A（） 、B（） ， ①， ② ①－②得： 0))((21)( 212121 ?????yyxx ∴ 寫出直線方程，即，檢驗與雙曲線有交點 [例 5] 已知雙曲線（， ）的左、右兩個焦點分別為 F1、F 2，P 是它左支上一點，P 到左準線 的距離為，雙曲線的一條漸近線為，問是否存在點 P，使、 、成等比數(shù)列？若存在，求出 P 的坐標；若不存在，請說明理由。 解：假設存在點 P（）滿足題中條件 ∵ 雙曲線的一條漸近線為 ∴ ， ∴ ， 即 由，得 ① ∵ 雙曲線的兩準線方程為 ∴ axcxPF?????0 201axcxPF?????0202 ∵ 點 P 在雙曲線的左支上 ∴ 021),(eea?代入①得 ∴ ，代入，得② ∴ 存在點 P 使成等比數(shù)列，點 P 的坐標是（） [例 6] 如圖，直線和相交于點 M， ，點 N，以 A、B 為端點的曲線段 C 上的任一點到的距離 與到點 N 的距離相等。若為銳角三角形， ，=3，且，建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段 C 的方程。 解：方法一：以為軸，MN 的中點 O 為原點建立如圖的直角坐標系。由題意可知，曲線 段 C 所在的拋物線在直角坐標系中的位置是標準的，并且點 N 是該拋物線的焦點，是準線。 所以可令拋物線的方程為，過點 A 作， ，垂足分別為 Q 和 E，由于是銳角三角形，則點 E 必 在線段 MN 上。 所以， ∵ ∴ 22???MQ 12??ENE ∴ 4?NAMp ∴ 拋物線方程為 由上述可知， ，點 B 到準線的距離為 6，則點 B 的橫坐標為 4，又曲線段在軸上方，故 曲線段 C 的方程為 方法二：以為軸，為軸建立如下圖的直角坐標系，其中 M 點為原點，這時焦點 N 在軸 上，頂點應是線段 MN 的中點。令曲線段 C 所在的拋物線方程為： 設 ),2(),2(11ypypA?? 則： ?? ???????)3(6)2(972121ypy 由（1）－（2）得 代入（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 代入（3）得 ∴ 曲線段 C 的方程為 )242)(82???yxy [例 7] 設分別為橢圓 C：（）的左、右兩個焦點。 （1）若橢圓 C 上的點 A（1， ）到兩點的距離之和等于 4，寫出橢圓 C 的方程和焦點坐 標； （2）設點 K 是（1）中所得橢圓上的動點。求線段 F1K 的中點的軌跡方程； （3）已知橢圓具有性質(zhì)：若 M、N 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩個點，點 P 是橢圓上 任意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點 P 位置無關的定值。 試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 解：（1）橢圓 C 的焦點在軸上 ∵ 橢圓上的點 A 到兩點的距離和是 4，得，即 又 ∵ 點 A（）在橢圓上 ∴ ，得 ∴ ∴ 橢圓 C 的方程為，焦點為、 （2）設橢圓 C 上的動點為 K（） ，線段 F1K 的中點 Q（）滿足： ∴ 因此 即為所求的軌跡方程 （3）類似的性質(zhì)為：若 M、N 是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點 P 是雙曲線上任 意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點 P 位置無關的定值。 證明如下：設點 M 的坐標為（） ，則點 N 的坐標為（） ，其中。又設點 P 的坐標為（） ，由， =，得 2mxnyxnykPN??????? 將， ，代入得，命題得證。 [例 8] 直線：與雙曲線 C：的右支交于不同的兩點 A、B。 （1）求實數(shù)的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F？若存在， 求出的值；若不存在，說明理由。 解： （1）將直線的方程代入雙曲線 C 的方程后，整理，得①，依題意，直線與雙曲線 C 的 右支交于不同兩點，故 ???????????020)2(8)2(0kkk 解得的取值范圍為 （2）設 A、B 兩點的坐標分別為，則由①式得 ??? ?????2212kx ②，假設存在實數(shù)， 使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F（） ，則由 FA⊥FB 得0)(2121???ycx 即 0)(21??kx 整理得 1)??ccxk ③ 把②式及代入③式化簡得 解得或（舍去） 可得使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點。 【模擬試題】 （答題時間：60 分鐘） 一. 選擇題 1. 橢圓的一條準線為，則橢圓的離心率等于（ ） A. B. C. D. 2. 雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 若橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點、 ，P 是兩條曲線的一個交點，則的值是（ ） A. B. C. D. 4. 雙曲線的焦點為、 ，弦 AB 過且兩端點在雙曲線的一支上，若，則（ ） A. 為定值 B. 為定值 C. 為定值 D. 不為定值 5. 設 P 是橢圓上一點， 、是橢圓的兩個焦點，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若點 P 在拋物線上，點 Q 在圓上，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 7. 拋物線上到頂點與焦點距離相等的點的坐標為（ ） A. B. C. D. 8. 將離心率為的橢圓，繞著它的左焦點按順時針方向旋轉后，所得新橢圓的一條準線方 程為，則新橢圓的另一條準線方程為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 1. 已知、是雙曲線的兩個焦點，PQ 是經(jīng)過且垂直于軸的雙曲線的弦，如果，則雙曲線 的離心率是 。 2. 已知點是橢圓上的一點，P 是橢圓上的動點，當弦 AP 的長度最大時，則點 P 的坐標 是 。 3. 正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，這個正三角形的邊長 是 。 4. 拋物線的弦 AB 垂直于軸，若，則焦點到 AB 的距離為 。 三. 解答題 1. 已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。 2. 設 AB 是拋物線上的動弦，且（為常數(shù)） ，求弦 AB 中點 M 到軸的最近距離，并研究的 情況。 3. 求拋物線上的點到直線的距離的最小值，并求取得最小值時的拋物線上的點的坐標。 【試題答案】 一. 1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D 二. 1. 2. 3. 4. 三. 1. 解：∵ 橢圓的中心在原點，焦點在軸上 ∴ 橢圓的方程為標準方程 ∵ ∴ ∴ 橢圓的方程可寫成 把直線代入橢圓的方程并整理得 ∴ ∵ 弦的中點的橫坐標為 ∴ ， ∴ ∴ 所求橢圓的方程為 2. （1）解法一：設直線 AB 的方程為，A、B 兩點的坐標分別為， 由 得 ∴ ∴ abkxkAB??????41||| 2212 ，化簡得 點 M 到軸的距離為 ])(12[42???a 當且僅當，即時“=”成立 解法二：設 A、M、B 點的縱坐標分別為、 、 ，A、M、B 三點在拋物線準線上的射影分別 為、 、 由拋物線的定義，知， ∴ ， 又 M 是線段 AB 的中點 ∴ )12(4)|(21)||(21)(213 ??????? aFyy ，等號在 AB 過焦點 F 時成立 ∴ 當定長為的弦過焦點 F 時，M 點與軸的距離最近，最近距離為 （2）若，此時只能用解法一，得 ]1)(1[422?kay 令，得 又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) 又，故在上是增函數(shù)，故當即時， 3. 解法一：設是拋物線上的點，則 ∴ |4634|515|634| 020 ?????yyxd ∴ 當，時，有最小值 2 此時拋物線上點的坐標為 解法二：由無實根，知直線與拋物線沒有公共點 設與直線平行的直線為 代入得① 設此直線與拋物線相切，即只有一個公共點 ∴ ，解得，代入①，得， ，即點到直線的距離最近，最近距離 235|)46(12|???d