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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 空間幾何體的表面積和體積（2）同步練習(xí) 新人教A版必修2 一、選擇題 1．長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9，則長(zhǎng)方體的體積是(　　) A．6　　 B．3　　 C．11　　 D．12 [答案]　A [解析]　設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6. 2．圓臺(tái)的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺(tái)的高為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　A [解析]　由題意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3. 3．若一圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比為(　　) A．1　 　 B．　　 C．　　 D． [答案]　D [解析]　設(shè)圓柱底面半徑為R，圓錐底面半徑r，高都為h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R， V柱V錐＝πR2hπr2h＝34，故選D． 4．(xx全國(guó)新課標(biāo)(文))如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 [答案]　B [解析]　由三視圖知，其對(duì)應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長(zhǎng)為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為633＝9，故選B． 5．(xx廣東)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是(　　) A．4 B． C． D．6 [答案]　B [分析]　　根據(jù)三視圖可知此幾何體為棱臺(tái)，分別確定棱臺(tái)的底面面積和高即可求得體積． [解析]　由四棱臺(tái)的三視圖可知，臺(tái)體上底面積S1＝11＝1，下底面積S2＝22＝4，高h(yuǎn)＝2，代入臺(tái)體的體積公式V＝(S1＋＋S2)h＝(1＋＋4)2＝. 6．(xx遼寧理) 某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ [答案]　B [解析]　該幾何體為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體在兩端各削去一個(gè)圓柱． V＝222－2(π122)＝8－π. 二、填空題 7．已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)底面半徑為r，則πr24＝4π，解得r＝，即底面半徑為. 8．(xx江蘇)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1V2＝________. [答案]　124 [分析]　　找到棱錐的底、高與棱柱的底、高之間的關(guān)系，從而可以得出它們的體積之比． [解析]　設(shè)三棱柱A1B1C1－ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝Sh＝Sh＝V2，即V1V2＝124. 三、解答題 9．已知圓臺(tái)的高為3，在軸截面中，母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的體積． [解析]　如圖所示，作軸截面A1ABB1，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長(zhǎng)分別為r，R，l，高為h. 作A1D⊥AB于點(diǎn)D， 則A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60，∴AD＝A1D， 即R－r＝3，∴R－r＝. 又∵∠BA1A＝90，∴∠BA1D＝60. ∴BD＝A1Dtan60，即R＋r＝3， ∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3， ∴V圓臺(tái)＝πh(R2＋Rr＋r2) ＝π3[(2)2＋2＋()2] ＝21π. 所以圓臺(tái)的體積為21π. 10．(xx浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，求此幾何體的體積． [解析]　該空間幾何體的上部分是底面邊長(zhǎng)為4，高為2的正四棱柱，體積為162＝32；下部分是上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為8，高為3的正四棱臺(tái)，體積為(16＋48＋64)3＝112.故該空間幾何體的體積為144. 能力提升 一、選擇題 1．(xx四川文) 某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是(　　) A．3　　　 B．2　　　 C．　　　 D．1 [答案]　D [解析]　由側(cè)視圖可知，該三棱錐的高為＝.由俯視圖可知，該三棱錐的底面面積S＝2＝.根據(jù)三棱錐的體積公式，得V＝＝1. 2．如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) [答案]　C [解析]　若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A，則該幾何體是正方體，其體積V＝13＝1≠，所以A選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B，則該幾何體是圓柱，其體積V＝π()21＝≠，所以B選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視是選項(xiàng)D，則該幾何體是圓柱的四分之一，其體積V＝(π121)＝≠，所以D選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則該幾何體是三棱柱，其體積V＝111＝，所以C選項(xiàng)符合題意，故選C． 3．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為(　　) A．29 cm B．30 cm C．32 cm D．48 cm [答案]　A [解析]　圖(2)和圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為h，則有π12(h－20)＝π32(h－28)，解得h＝29(cm)． 4．(xx山西曲沃中學(xué)上學(xué)期期中) 下圖所示是一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，且正視圖、側(cè)視圖都是矩形，則該幾何體的體積是(　　) A．24 B．12 C．8 D．4 [答案]　B [解析]　由三視圖該幾何體是兩個(gè)完全一樣的三棱柱． V＝242＝12，故選B． 二、填空題 5．(xx全國(guó)高考江蘇卷) 設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1、S2，體積分別為V1、V2，若它們的的側(cè)面積相等且S1S2＝94，則V1V2＝________. [答案]　32 [解析]　設(shè)甲圓柱底面半徑r1，高h(yuǎn)1，乙圓柱底面半徑r2，高h(yuǎn)2，＝＝，∴＝，又側(cè)面積相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴＝.因此＝＝. 6. (xx天津理)一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為____. [答案]　 [解析]　由三視圖知，該幾何體由一個(gè)高為1，底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐和一個(gè)高為2，底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱組成，則體積為221＋112＝. 三、解答題 7．(xx河南鄭州調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的表面積S. [答案]　(1)　(2)6＋2 [解析]　(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體，如圖所示，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為，所以V＝11＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S表＝2(11＋1＋12)＝6＋2. 8．(xx湖南師大附中期末)某工廠為了制造一個(gè)實(shí)心工件，先畫出了這個(gè)工件的三視圖(如圖)，其中正視圖與側(cè)視圖為兩個(gè)全等的等腰三角形，俯視圖為一個(gè)圓(含圓心)，三視圖尺寸如圖所示(單位cm)． (1)求出這個(gè)工件的體積； (2)工件做好后，要給表面噴漆，已知噴漆費(fèi)用是每平方厘米1元，現(xiàn)要制作10個(gè)這樣的工件，請(qǐng)計(jì)算噴漆總費(fèi)用(精確到整數(shù)部分)． [解析]　(1)由三視圖可知，幾何體為圓錐，底面直徑為4 cm，母線長(zhǎng)為3 cm， 設(shè)圓錐高為h cm， 則h＝＝， 則這個(gè)工件的體積V＝Sh＝πR2h＝π4＝π(cm3)． (2)圓錐的側(cè)面積S1＝πRl＝6π(cm2)， 則表面積＝側(cè)面積＋底面積＝6π＋4π＝10π(cm2)， 故噴漆總費(fèi)用＝10π110＝100π≈314(元)．