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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 雙曲線 二. 重點、難點： 重點：雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程． 難點：理解參數(shù) a、b、c、e 的關(guān)系及漸近線方程． 三. 主要知識點 1、雙曲線的定義： 平面內(nèi)到兩定點 F1、F 2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于|F 1F2|）的點的軌跡叫做 雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 說明：雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF 1|－|MF 2||＝2a，其中 2a＜|F 1F2|，這里要注意 兩點： （1）距離之差的絕對值. （2）2a＜|F 1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同． 當(dāng)|MF 1|－|MF 2|＝2a 時，雙曲線僅表示焦點 F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF 1|－|MF 2|＝－2a 時，雙曲線僅表示焦點 F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng) 2a＝|F 1F2|時，軌跡是一直線上以 F1、F 2為端點向外的兩條射線； 當(dāng) 2a＞|F 1F2|時，動點軌跡不存在. 2、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) （1）建系設(shè)點 建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線 斜率等）的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取方法是恰 當(dāng)?shù)? 以兩定點 F1、F 2的直線為 x 軸，線段 F1F2的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系（如 圖） ．設(shè)|F 1F2|＝2c（c＞0） ，M（x，y）為雙曲線上任意一點，則有 F1（－c，0） ， F2（c，0） ． （2）點的集合 由定義得出橢圓雙曲線集合為：P＝{M||MF 1－MF 2|＝2a}. （3）代數(shù)方程 2()()xcyxcya????? （4）化簡方程（其中 c2＝a 2+b2） 3、兩種雙曲線性質(zhì)的比較 焦點在 x 軸上的雙曲線 焦點在 y 軸上的雙曲線 幾何 條件 與兩個定點的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于這兩個定點之間的距離） 標(biāo)準(zhǔn) 方程 －＝1（a>0，b>0） －＝1（a>0，b>0） 圖形 o x y 范圍 |x|≥a |y|≥a 對稱性 x 軸，y 軸，原點 頂點 坐標(biāo) （a，0） （0，a） 實軸 虛軸 x 軸，實軸長 2a y 軸，虛軸長 2b y 軸，實軸長 2a x 軸，虛軸長 2b 焦點 坐標(biāo) （c，0）c＝ （0，c）c＝ 離心率 e＝， e >1 漸近線 y＝x y＝x 4、方法小結(jié) （1）由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的 形式（含有參數(shù)） ，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意： ①當(dāng)焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏； ②已知漸近線的方程 bxay＝0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為 b2x2－a 2y2＝λ（λ≠0） ，根據(jù)其他條件確定 λ 的值.若求得 λ＞0，則焦點在 x 軸上，若 求得 λ＜0，則焦點在 y 軸上． （2）由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計算，并要 特別注意焦點位置，防止將焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯． （3）雙曲線中有一個重要的 Rt△OAB（如下圖） ，它的三邊長分別是 a、b、c．易見 c2＝a 2+b2，若記∠AOB＝θ，則 e＝＝． x y O FF a b cq B A21 （4）參數(shù) a、b 是雙曲線的定形條件，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a＞0，b＞0；雙曲線焦 點位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c 的關(guān)系是 c2＝a 2+b2；在方程 Ax2+By2＝C 中，只要 AB＜0 且 C≠0，就是雙曲線的方程． （5）給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線．但已知漸近線方程，只是限制 了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程．但若已知漸近線方程是＝0，則可把雙 曲線方程表示為－＝λ（λ≠0） ，再根據(jù)已知條件確定 λ 的值，求出雙曲線的方程． 【典型例題】 例 1. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： （1）與雙曲線－＝1 有共同的漸近線，且過點（－3，2） ； （2）與雙曲線－＝1 有公共焦點，且過點（3，2）. （3）求中心在原點，兩對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過 P（3， ）Q（，5） ． 剖析：設(shè)雙曲線方程為－＝1，求雙曲線方程，即求 a、b，為此需要關(guān)于 a、b 的兩個 方程，由題意易得關(guān)于 a、b 的兩個方程. 解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為－＝1， 由題意得 22 43() - =1 ab?????? 解得 a2＝，b 2＝4． 所以雙曲線的方程為－＝1． （2）設(shè)雙曲線方程為－＝1. 由題意易求 c＝2． 又雙曲線過點（3，2） ， ∴－＝1. 又∵a 2+b2＝（2） 2， ∴a 2＝12，b 2＝8． 故所求雙曲線的方程為－＝1． 解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ（λ≠0） ， 將點（－3，2）代入得 λ＝， 所以雙曲線方程為－＝． （2）設(shè)雙曲線方程為－＝1， 將點（3，2）代入得 k＝4，所以雙曲線方程為－＝1． 評述：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求 a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e） 之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程 axby＝0，可設(shè)雙曲線 方程為 a2x2－b 2y2＝λ（λ≠0） ．與－＝1 同焦點的可設(shè)為－＝1 （3）設(shè)雙曲線方程為（mn>0） 將 PQ 兩點坐標(biāo)代入求得 m＝－16，n＝－9. 故所求方程為 說明：若設(shè)－＝1 或－＝1 兩種情況求解，比較繁瑣． 例 2. △ABC 中，A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，B（－1，0） ，C（1，0） ，求滿足 sinC－sinB＝sinA 時，頂點 A 的軌跡方程，并畫出圖形． y O x 解：根據(jù)正弦定理得 c－b＝a＝1 即 AB－AC＝1，所以點 A 的軌跡為雙曲線 又 c＝1，a＝，∴b＝c 2－a 2＝ 故雙曲線方程為 34xy??（x>） 例 3. （xx 年全國，19）設(shè)點 P 到點 M（－1，0） 、N（1，0）距離之差為 2m，到 x 軸、 y 軸距離之比為 2，求 m 的取值范圍． 剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知點 P 的軌跡是雙曲線，由點 P 到 x 軸、y 軸距離之比為 2，知點 P 的軌跡是直線，由交軌法求得點 P 的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得 m 的取值范圍. 解：設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（x，y） ，依題意得＝2，即 y＝2x（x≠0） ． ① 因此，點 P（x，y） 、M（－1，0） 、N（1，0）三點不共線，得 ||PM|－|PN||0， ∴0<|m|0，∴1－5m 2>0． 解得 0<|m|<，即 m 的取值范圍為（－，0）∪（0， ） ． 評述：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析 問題、解決問題的能力．解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義． 例 4. （xx 年春季上海）已知橢圓具有的性質(zhì)：若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的兩個 點，點 P 是橢圓上任意一點，當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、k PN時，那么 kPM 與 kPN之積是與點 P 位置無關(guān)的定值．試對雙曲線 C’：－＝1 寫出具有類似特性的性質(zhì)， 并加以證明． 解：類似的性質(zhì)為若 MN 是雙曲線－＝1 上關(guān)于原點對稱的兩個點，點 P 是雙曲線上任 意一點，當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、k PN時，那么 kPM與 kPN之積是與點 P 位 置無關(guān)的定值． 設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（m，n） ，則點 N 的坐標(biāo)為（－m，－n） ，其中－＝1． 又設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（x，y） ， 由 kPM＝，k PN＝，得 kPMkPN＝＝， 將 y2＝x 2－b 2，n 2＝m 2－b 2，代入得 kPMkPN＝． 評注：本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì)，考查類比、歸納、探索問題的能力.它 是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目，對思維能力有較高的要求． 【模擬試題】 （完成時間 60 分鐘，滿分 100 分） 一、選擇題（每小題 4 分，共 40 分） 1. 到兩定點、的距離之差的絕對值等于 6 的點的軌跡是 （ ） A. 橢圓 B. 線段 C. 雙曲線 D. 兩條射線 2. 方程表示雙曲線，則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 或 3. 雙曲線的焦距是 （ ） A. 4 B. C. 8 D. 與有關(guān) 4.（xx 年天津，4）設(shè) P 是雙曲線－＝1 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為 3x－2y＝0，F(xiàn) 1、F 2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF 1|＝3，則|PF 2|等于 A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. （xx 年春季北京，5） “ab|PA|， 1PO),568,(P故即 ，…………11 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北 45距中心處. …………12